巴蜀中学2015届高三上学期第一次模拟考试
数学（理）试题
5. 已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 化简 （ ）
A. B. C. D.
8. 过双曲线 的一个焦点 向其一条渐近线作垂线 ，垂足为 ， 与另一条渐近线交于 点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
9. 已知 都是负实数，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不可能为（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二．填空题（每小题5分，共5小题25分）
11. 已知复数 （ 为虚数单位），则 ______________。
12. 已知不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 。
13. 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线 经过曲线 的焦点，则实数 的值为___________。
14. 将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法。
15. 已知 中的内角为 ，重心为 ，若 ，则 。
三. 解答题(共6小题75分,16,17, 18每小题13分,19,20,21每小题12分)
16.（13分） 已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）当 时，求 的值域．
17.（13分）已知等差数列 的公差 ， ，且 成等比数列.
（1）求通项公式 ；
（2）令 ， ，求数列 的前 项的和 .
18.（13分）如图所示，已知点 是抛物线 上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点。
（1）求点M到其准线的距离；
（2）求证：直线AB的斜率为定值。
19.（12分） 已知函数 ， 。
（1）求函数 的最小值；
（2）若存在 （ 是自然对数的底数）使不等式 成立，求实数 的取值范围。
20. （12分）已知 是椭圆 的两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，且 ，⊙ 是以 为直径的圆，直线 ： 与⊙ 相切，并且与椭圆交于不同的两点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 ，且满足 时，求弦长 的取值范围。
21.（12分）已知函数 ，其导函数为 。
（1）若函数 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；
（2）若 且 ，已知 ，
求证： ；
（3）在（2）的条件下，试比较 与 的大小，并说明你的理由。
一、
16.解：（1）
故 的单调增区间为
（2）
∴
∴当 时， 的最大值为1,最小值为
17.解：（1） ， ，
因为 ，则 .
所以
（2）因为 ，
所以
18．解：（1）∵ 是抛物线 上一定点
∴ ，
∵抛物线 的准线方程为
∴ 点M到其准线的距离为
（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为 ， 设直线MA的方程为： ∴ ∵ ∴
∵ 直线AM、BM的斜率互为相反数
∴ 直线MA的方程为： 同理可得：
∴
∴ 直线AB的斜率为定值
19.（1）易知， 定义域为 ，且 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 时， ，此时 单调递增。
所以 ；
（2）由题意知 ，即 ，
设 ，则
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增。
所以 ，因为存在 使不等式 成立，
所以 ，又 ，故
所以 。
20.解:（1）依题意，可知 ，
∴ ，解得
∴椭圆的方程为
（2）直线 ： 与⊙ 相切，则 ，即 ，
由 ，得 ，
∵直线 与椭圆交于不同的两点 设
∴ ，
，
∴
∴ ∴ ，
∴
设 ，则 ，
∵ 在 上单调递增 ∴ .
21.21.（1） 。
要使函数 在定义域 内为单调函数，则在 内 恒大于0或恒小于0，
当 时， 在 恒成立；
当 时，要使 恒成立，则 ；
当 时， 恒成立；
所以 的取值范围为 。
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