上海市数学散装同步试卷
（六校联考）
学校___________ 班级_________ 学号__________ 姓名__________ 成绩_________
满分150分，考试时间120分钟
一. 填空题 (本大题满分60分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得6分，否则一律得零分.
1. 若 为全集， ， ，则 .
2. 若直线 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则两条直线的夹角为 .
3. 在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作锐角 ，它的终边与单位圆相交于点 ，且点 的横坐标为 ，则 的值为 .
4.（理）已知函数 有两个零点，实数 的取值集合为 ，且对于任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .
（文）过点 且倾斜角 满足 的直线的方程为 .
5. 设 的内角 所对的边长分别为 ，且满足 ，则 .
6.（理）下列命题正确的序号为 .
①若 存在，则实数 的取值范围是 ；
②公比为 的等比数列 满足 ，则奇数项的前 项和为 ；
③数列 满足 ，且 则 .
（文）已知函数 有两个零点，实数 的取值范围是 .
7.（理）定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ，有 ，且 ，则不等式 的解集为 .
（文）下列命题正确的序号为 .
①若 存在，则实数 的取值范围是 ；
②公比为 的等比数列 满足 ，则其前 项和为 ；
③数列 的前 项和 ，则 的通项为 .
8.若函数 存在反函数 ，且函数 的图像过点 ，则函数 的图像一定过点 .
9.（理）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到 个不同的数 ，使得 ，则 的所有可能取值组成的集合为 .
（文）定义在 上的偶函数 满足：在 上是减函数，且 ，则不等式 的解集为 .
10.（理）设函数 的定义域为 ，若存在非零常数 使得对于任意 有 且 ，则称 为 上的 高调函数. 对于定义域为 的奇函数 ，当 时， ，若 为 上的4高调函数，则实数 的取值范围是 .
（文）对于集合 ，定义函数 ；对于两个集合 ，定义集合 .已知 ， ，则用列举法写出集合 的结果为 .
二.选择题 (本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
11. 不等式 成立是 成立的 【 】
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费用为2万元，由于设备老化，以后每一年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备的年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 【 】
A.7 B.8 C.9 D.10
13.已知数列 满足 ，在该数列的第1项与第2项之间插入1个1，在第2项与第3项之间插入2个1，…，在第 项与第 项之间插入 个1，…，由这些数构成新数列 ，则数列 的前2014项和为 【 】
A. B. C. D.
三．解答题 (满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
14.（本题满分12分，第一小题7分，第二小题5分）
已知向量 ， ，且 ，
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）求 在 上的最大值与最小值.
15.（本题满分14分）
如图，平行四边形 中， , ， ， 是 的中点，将平行四边形沿 折叠，使得 与 重合，求折痕 的长以及 的面积．
16.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
已知幂函数 在 上是增函数， .
（1）求 的解析式；
（2）指出函数 的奇偶性和单调性，并选择一个单调区间给出证明过程.
17.（本题满分16分，第一小题8分，第二小题8分）
在小商品批发市场，某种小礼品当双十一即将来临时，价格呈上涨趋势。设该礼品第一天上市时定价为10元，并且每过一天涨价2元，第六天开始保持20元的价格平稳销售；第10天双十一结束，之后平均每天降价2元，直到第17天，该礼品已不再销售。
（1）试建立价格与天数 之间的函数关系式 ；
（2）若该礼品每件进价与天数 之间的关系为：
，
试问该礼品第几天每件的销售利润最大？
18.（理）（本题满分18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知 、 是两个互相垂直的单位向量， ，且满足 ，
， ，
.
（1）求 、 、 （用 、 或 表示），并由此写出 （无需证明）；
（2）记 ，求 的最大项；
（3）设 、 的起点均为点 顺次连接 、 、…、 …，求 的面积.
（文）（本题满分18分，第一小题6分，第二小题4分，第三小题8分）
已知数列 和 ，满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 .
（3）是否存在正整数 ，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由.
上海市数学散装同步试卷参考答案
六校联考
（东昌、卢湾、光明、北虹、六十、同二）
一、1． ； 2． ； 3．- ； 4．（理） ；（文） ；
5． ； 6．（理）③；（文） ； 7．（理） ； （文）③；8． ； 9．（理） ； （文） 10．（理） ；（文）
二、11．A； 12．D； 13．D．
14.解：（1）
……………………………………5分
增区间为 ……………………………………1分
减区间为 ……………………………………1分
（2） ……………………………………1分
即 时， ………………2分
即 时， ………………2分
15.解：以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系 ………………1分
则 ， ， ， …………………………2分
， 中点坐标 …………………………2分
直线 的方程为： ，即 … …2分
令 得 ，令 得 …………………………2分
…………………………1分
又 中， ， ……………………1分
边上的高 ……………2分
…………………………1分
或 …………………………4分
16.解：（1） 在 上是增函数，
…………………………2分
， ， 或 ………………………2分
…………………………2分
（2） ， 是奇函数 ………2分
减区间为： 、 和 …………3分
证明：任取 且
…………2分
在 上是减函数 ………………2分
17.
解：（1） ………………………8分
（2）设利润函数为 ，则
……4分
当 时， ………………1分
当 时， ………………1分
当 时， ………………1分
所以，该礼品第6天或第10天每件的销售利润最大. ………………1分
18.（理）解：（1） ， ， ，
、 、 ………………………3分
………………………1分
或：由 得
即
， ，
、 、
（2） ， ，
又
………………………………2分
……………1分
恒成立…………1分
是递减数列，最大项为 ……………2分
（3） ……………2分
……………2分
……………1分
……………1分
……………2分
（文）解：
（1）
是等比数列 ……………………………4分
……………………………2分
（2） ……………………………1分
………………………………3分
（3）由 得 对一切 恒成立2分
记
……………2分
是 的最大项 …………………………2分
， ………………………………………2分
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