河北省邢台市2015届高三摸底考试
数学（文）试题
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分。考试时间为120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第I卷
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={x|－2≤x≤2}，B={y|y= ，0≤x≤4}，则下列关系正确的是
A．A B B．B A C． A B D．A B =R
2．若复数z满足iz =1 +2i，则在复平面内，z的共轭复数 对应的点所在象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列{an}为等比数列，a5 =1，a9= 81，则a7=
A．9或-9 B．9 C．27或-27 D．-27
4．已知变量x，y，满足约束条件 ，则z=2x－y的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
5．“a=－1”是“直线ax +3y +3 =0和直线x+（a－2）y+l =0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知m和n是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥ 的是
A． ⊥ 且m⊥ B． ⊥ 且m∥ c．m∥n且n⊥ D．m⊥n且n//
7．在△ABC中，AB =AC =3，∠BAC= 30o，CD是边AB上的高，则 • =
A． B． C． D．
8．样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m．若该样本的平均值为l，则其样本方差为
A． B．
C． D．2
9．阅读右边的程序框图，输出的值为
A． B．
C．－1 D．
10．已知定义在（-1，1）上的函数f (x)，其导函数为 =l+ cosx，且f（0）=0，如果 +f (l－x2）<0，则实数x的取值范围为
A．（0，1） B．（1， ）
C． D．（1， ） （－ ，－1）
11．先把函数fx）=sin（x一詈）图象上各点的横坐标变为原来的÷倍（纵坐标不变）．再把新得到的图象向右平移手个单位，得到y=g（髫）的图象，当戈∈（手，孚）时，函数g（茹）的值域为
A．（ ，1] B．（ ，1] c．（ ， ） D．[-1,0）
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知（a10－1）3+11a10=0，（a2－1）3+11a2=22，则下列结论正确的是
A．S11 = 11 , a10 < a2 B．S11= 11, a10 > a2
C．S11 =22, a10 < a2 D．S11 = 22 , a10 > a2
笫II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分．
13．已知tan = ，tan（ ）= ，则tan = ．
14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的表面积为 ．
15．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为 ．
16．已知M是抛物线x2 =4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y-5）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a b．
（I）求C；
（Ⅱ）若cosB= ，求cosA的值．
18．（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，四边形ABCD是梯形，∠BAD=∠CDA= 90o，四边形CDEF是矩形，
平面ABCD⊥平面CDEF,AB= AD= DE= CD =2，M是线段AE的中点．
（I）求证：AC∥平面MDF；
（Ⅱ）平面MDF将该几何体分成两部分，求多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比．
19．（本小题满分12分）
某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D．E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目盼成绩为E的学生有8人．
（I）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
20．（本小题满分12分）
已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2 .
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为 ，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
21．（本小题满分12分）
已知函数f (x)=ax－ex（a∈R），g（x）= .
（I）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ） x0∈（0，+∞），使不等式f (x) g（x）－ex成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲
如图所示，AC为⊙O的直径，D为 的中点，E为BC的中点．
（I）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC =2AD•CD．
23．（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程选讲
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为： （ 为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲
设函数f（x）=|x+2|－|x－2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0<y<1时，证明：|x+2|－|x－2|≤ ．
参考答案
1. C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.B 11.A 12.A
13. ； 14. ； 15. ； 16.5.
17. 解：（Ｉ）法一：由正弦定理得 ………2分
即
∴ ………4分
得 ， . ………6分
法二：由余弦定理得 ………2分
即 ………4分
………6分
(II)∵ ， ，∴ ， ………8分
∴ = . ………12分
18. （Ｉ）证明：连结 ，交 于 ，连结 ，由题意知 为 的中点，
在 中， // , ……… 3分
且 ，
平面 . ………6分
(II) 解：将多面体 补成三棱柱 ，如图，
则三棱柱的体积为
， ………8分
则 ………10分
而三棱锥 的体积 ， ………12分
19. 解：（Ｉ）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有 人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
. ………4分
(II)由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A . ………6分
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为 {（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件.………10分
设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的事件有1个，为（甲，乙），则 . ………12分
20. 解：
（Ⅰ）由题意可设椭圆 的方程为 ， ．
由题意知 解得 . ………2分
故椭圆 的方程为 . ………4分
（Ⅱ）以 为直径的圆与直线 相切．
证明如下：由题意可知， ， ，直线 的方程为 .
则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ，圆的半径 ………6分
由 得 ．
设点 的坐标为 ，则 ………8分
因为点 坐标为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为：
点 到直线 的距离 ． ………10分
所以 ． 故以 为直径的圆与直线 相切． ………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ， ………2分
当 时， ， 在 上单调递减； ………4分
当 时，令 得
由 得 的单调递增区间为 ；
由 得 的单调递减区间为 ． ………6分
（Ⅱ）因为 ，使不等式 ,则 ，
设 ，则问题转化为 小于或等于 的最大值， ………8分
由 ，令 ，则
当 在区间 内变化时， 、 变化情况如下表
+
-
由上表可知，当 时，函数 有最大值，且最大值为 .
所以 . ………12分
22. 解：（Ⅰ）连接 ，因为 为 的中点，所以 ．
因为 为 的中点，所以 ．
因为 为 的直径，所以 ，即
所以 ． ………5分
（Ⅱ）因为 为 的中点，所以 ，
又 ,则 ．又因为 ， ，
所以 ∽ ．
所以 ， , ………10分
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