2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.
2．若集合 ，则M∩N _______________.
3．复数 =______________.（ 是虚数单位）
4．已知数列 的前 项和 ，则其通项公式为
5. 已知 ，则
6. 已知 且 ，则复数 对应点在第二象限的概率为 （用最简分数表示）
7．已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为
8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是 .
9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 .
10．已知数列 是以 为公差的等差数列， 是其前
项和，若 是数列 中的唯一最大项，则数列
的首项 的取值范围是 .
11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白
信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .
12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ， 则 的值是 。
13. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为 ．
14.已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为
周期的偶函数，且当 时， ，若在区间 内，函数
有4个零点，则实数 的取值范围是 ．
二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．
15．设z1、z2∈C,则“z +z =0”是“z1=z2=0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16．函数 的图象为 （ ）
A B C D
17. 是△ABC所在平面内的一点，且满足 ，则△ABC的形状一定是 （ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形
18.下面有五个命题：
①函数 的最小正周期是 ；
②终边在y轴上的角的集合是 ；
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有一个公共点；
④把函数 ；
⑤在 中，若 ，则 是等腰三角形 ；
其中真命题的序号是 （ ）
．（1）（2）（3） ．（2）（3）（4） ．（3）（4）（5） ．（1）（4）（5）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：三棱锥 中， 底面 ，若底面 是边长为2的正三角形，且 与底面 所成的角为 ．若 是 的中点，求：
（1）三棱锥 的体积；
（2）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值。
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
已知函数 的图像与 轴正半轴的交点为 ， =1，2，3，…．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 令 为正整数）, 问是否存在非零整数 , 使得对任意正整数 ，都有 ？ 若存在, 求出 的值 , 若不存在 , 请说明理由．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数 （ 、 ），满足 ，且 在 时恒成立．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，解不等式 ；
（3）是否存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列 满足
(1)设 是公差为 的等差数列.当 时,求 的值;
(2)设 求正整数 使得一切 均有
(3)设 当 时,求数列 的通项公式.
参考答案（理）
一、填空题
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
12、 13、2 14、
二、选择题
题号 15 16 17 18
答案
三、解答题
19、[解]（1）因为 底面 ， 与底面 所成的角为
所以 ………2分 因为 ，所以 …………4分
………………6分
（2）连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则
所以 为异面直线 与 所成的角 ………………7分
计算可得： ， ， ………………9分
………………11分
异面直线 与 所成的角为 ………………12分
20、【解】（1）由条件得到 ，………………2分
解得 或者 ………………4分
， ………………6分
（2） ………………2分+2分+2分=6分
21、（理）【解】：（1）设 ， 得 。
所以 …………………………………………………………………………4分
（2） ，若存在 ，满足 恒成立
即： ，………………………………6分
恒成立 ……………………………………………………8分
当 为奇数时， ………………………………………10分
当 为偶数时， …………………………………12分
所以 ………………13分，
故： ………………………14分
22、【解】（1）由 ，得 ，………………1分
因为 在 时恒成立，所以 且△ ， ，
………………2分
即 ， ， ，所以 ．……………4分
（2）由（1）得 ，由 ，得
，即 ，………………7分
所以，当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为空集 ． ………………10分
（3） ， ………………11分
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ．
假设存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ．
① 当 ，即 时，函数 在区间 上是增函数，所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ； ………………13分
②当 ，即 时，函数 的最小值为 ，即
，解得 或 ，均舍去； ………………15分
③当 ，即 时， 在区间 上是减函数，所以 ，即 ，解得 或 ，因 ，所以 ． ………………17分
综上，存在实数 ， 或 时，函数 在区间 上有最小值 ． ………………18分
23、【解】(1) , ………………2分
………………4分
(2)由 , ………………5分
由 ,即 ; ………………7分
由 ,即 ………………9分
. ………………10分
(3)由 , ………………11分
故 ,
………………13分
当 时,以上各式相加得
………………15分
当 时,
………………17分
, ………………18分
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