杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学学科试卷（理科） 2015.1.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知 ，则 =________________.
2．设 ， ， ，则m的取值范围是________.
3．已知等差数列 中， ，则通项公式为 ________________.
4．已知直线 经过点 ，则直线 的方程是___________________.
5. 函数 的反函数 ．
6. 二项式 的展开式（按x的降幂排列）中的第４项是_________________.
7． 已知条件 ；条件 ，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
8．向量 ，若 与 平行，则实数 =_________.
9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：
窗口 6排A座 6排B座 6排C座 走廊 6排D座 6排E座 窗口
其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。
10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）
11．不等式 的解集是_______________________.
12．设△ 的内角 , , 所对的边长分别为 , , ，若 ，
则角 _________.
13．已知 ，集合 ，集合
（ 可以等于 )，
则集合B的子集个数为__________.
14．如图所示，已知函数 图像上的两
点 A、 B 和函数 上的点 C，线段 AC
平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点
B的坐标为 , 则 的值为________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ）
A． B．
C． D．
16．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则方程 只有一个根
B．若 且 ，则
C．若 ，则 不成立
D．若 ，且 ，那么 一定是纯虚数
17．圆心在抛物线 上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个
圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．对数列 ，若区间 满足下列条件：
① ；② ，
则称 为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）
A ； B.
C ． D ．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．
如图，正四棱柱 的底面边长为1，异面直线 与 所成角的大小为 ，求：
（1）线段 到底面 的距离；
（2）三棱椎 的体积。
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
21．（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分．
已知函数 是奇函数， 为常数
求实数 的值；
若 ，且 ，求 的解析式；
对于（2）中的 ，若 对 恒成立，求实数 的取值
范围.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分
如图，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点，点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点，
（1）若 ，求曲线 的方程；
（2）如图，作直线 平行于曲线 的渐近线，交曲线 于点A、B，求证：弦AB的中点
M必在曲线 的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线 ，若直线 过点 交曲线 于点C、D，求 面积的最
大值。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
数列 各项均不为0，前n项和为 ， ， 的前n项和为 ，且
若数列 共3项，求所有满足要求的数列；
求证： 是满足已知条件的一个数列；
请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ，并使得 ；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。
理科评分参考
填空题
1.
2．
3．
4．
5.
6．
7．
8．
9．30
10．
11．
12．
13．16
14．
二、选择题
15．B
16．D
17．D
18．C
三、解答题
19．（本题12分）
解：（1） ，
为异面直线 与 所成角， …………2分
正四棱柱 ，
的长为线段 到底面 的距离， …………4分
中， ， ，
线段 到底面 的距离为 …………6分
（2） …………8分
…………10分
…………12分
20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）
（1）解：如图，作 于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
， …………2分
，
…………4分
…………6分
（2）设 …………7分
则 ，
…………9分
…………11分
， …………12分
即 时， …………13分
，此时A在弧MN的四等分点处
答：当A在弧MN的四等分点处时， …………14分
21．（本题14分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分）
（1） ， …………1分
…………2分
…………3分
（2） ， …………4分
…………5分
…………6分
当 时， （舍） …………7分
当 时， ， …………8分
（3）
对 恒成立
，当且仅当 时等号成立
即 时，
22．（本题16分，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分）
（1） …………2分
则曲线 的方程为 和 。 …………3分
（2）曲线 的渐近线为 …………4分
如图，设直线 …………5分
则 …………6分
又由数形结合知 ， …………7分
设点 ，
则 ， …………8分
， …………9分
，即点M在直线 上。 …………10分
（3）由（1）知，曲线 ，点
设直线 的方程为
…………10分
…………11分
设
由韦达定理： …………12分
…………13分
令 ， ，
…………14分
， ，当且仅当 即 时等号成立 …………15分
时， …………16分
23．（本题18分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
（1） 时， ……1分
时，
…………2分
时，
当 时，
当 时， …………3分
所以符合要求的数列有： ； ； …………4分
（2） ，即证 ，
用数学归纳法证：
1． 时， 成立 …………6分
2．假设 ， 成立 …………7分
则 时，
等式也成立 …………9分
综合12，对于 ，都有
是满足已知条件的一个数列。 …………10分
（3） ①
②
②-①得
, ③ …………11分
时 ④
③-④得 …………12分
或 …………14分
构造:
ⅰ) …………15分
ⅱ) …………16分
ⅲ) …………17分
ⅳ) …………18分
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