浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试
数学（文科）试题 2015.01
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高
棱台的体积公式
其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
h表示棱台的高
其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 如果事件 互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
2．已知 角的终边均在第一象限，则“ ”是
“ ”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．阅读右侧程序框图,输出的结果的值为（ ▲ ）
A．5 B．7
C．9 D．11
4．设等差数列 的前行项和为 ，若 ，则 （ ▲ ）
A． B． C． D．
5．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则
（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ▲ ）。
A．若 与 所成的角相等，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
7．把圆 与椭圆 的公共点，用线段连接起来所得到的图形
为（ ▲ ）。
A．线段 B．不等边三角形 C．等边三角形 D．四边形
8．设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值
范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
9．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有（ ▲ ）项.
A． B． C． D．
10．在等腰三角形 中， ， 在线段 ， （ 为常数，且
）， 为定长，则 的面积最大值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用．
黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．若某棱锥的三视图(单位： )如图所示，则该棱锥的体积等于 ▲ 。
12．设 是方程 的解，且
，则 = ▲ 。
13．已知函数
在 是单调函数，则实数 的取值范
围是 ▲ 。
14．在 中，若 ，则
▲ 。
15．若实数 、 满足 且 的最小值为 ，则实数 的值为
▲ 。
16．已知 中， ， ，且 ，则
的取值范围是 ▲ 。
17．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ 。
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值。
19．（本小题满分14分）
在 中，角 所对的边分别为 ，角 为锐角，且
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的最大值。
20．（本小题满分15分）
已知数列 的前 项和 满足： （为常数，且 ）．
（1）设 ，若数列 为等比数列，求的值；
（2）在满足条件（1）的情形下，设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（本小题满分15分）
在直三棱柱 中，底面 是边长为2的正
三角形， 是棱 的中点，且 .
（1）试在棱 上确定一点 ，使 平面 ；
（2）当点 在棱 中点时，求直线 与平面
所成角的大小的正弦值。
22．（本小题满分14分）
已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得弦长为 ．设该动圆圆心的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 方程；
（2）点 为直线： 上任意一点，过 作曲线 的切线，切点分别为 、
， 面积的最小值及此时点 的坐标.
浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试
数学（文科）答案 2015.01
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A D C C D D C
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
本题主要考查两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（1）由 得 （3分）
故 （3分）
（2）原式 （2分）
（3分）
（3分）
19．（本小题满分14分）
本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。满分14分。
解：（1）
（7分）
（2）由余弦定理得
代入得
又
即 （当且仅当 时取等号成立）
∴ 的最大值为3。 （7分）
20．（本小题满分15分）
本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分15分。
解：当 时， ，得 ．
当 时，由 ，即 ，①
得， ，②
，即 ，
是等比数列，且公比是， ． （3分）
（1） ，即 ，
若数列 为等比数列，则有 ，
而 ，
故 ，解得 ，
再将 代入 ，得 ，
由 ，知 为等比数列， ． （5分）
（2）由 ，知 ， ，
，
由不等式 恒成立，得 恒成立，设 ，由
，
当 时， ，当 时， ，
而 ，
． （8分）
21．（本小题满分15分）
本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间
想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.
解：（1) 取 边中点为
∵底面 是边长为 的正三角形，∴
连接 ，∵ 是边 的中点
∴ ，
所以可以建立以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
为 轴如图所示的坐标系 （4分）
则有 ， ， ， ，
， ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则有 ，
∴ 可得
即当 时， . （4分）
（2) 当点 在棱 中点时：
∴ ， ，设平面 的一个法向量
∴ 令 ，得 ，
∴ （4分）
设直线 与平面 所成角为 ，则
所以直线 与平面 所成角 的正弦值为 （3分）
22．（本小题满分14分）
本题主要考查解析几何的标准方程的求解，与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
（1）设动圆圆心坐标为 ，根据题意得
， （2分）
化简得 . （2分）
（2）解法一：设直线 的方程为 ，
由 消去 得
设 ，则 ，且 （2分）
以点 为切点的切线的斜率为 ，其切线方程为
即
同理过点 的切线的方程为
设两条切线的交点为 在直线 上，
，解得 ，即
则： ，即 （2分）
代入
到直线 的距离为 （2分）
当 时， 最小，其最小值为 ，此时点 的坐标为 . （4分）
解法二：设 在直线 上，点 在抛物线
上，则以点 为切点的切线的斜率为 ，其切线方程为
即
同理以点 为切点的方程为 （2分）
设两条切线的均过点 ，则 ，
点 的坐标均满足方程
，即直线 的方程为： （2分）
代入抛物线方程 消去 可得：
到直线 的距离为 （2分）
所以当 时， 最小，其最小值为 ，此时点 的坐标为 . （4分）
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