高三数学(理)试题答案 第1页(共6页)
合肥市2016年高三第一次教学质量检测
数学试题(理)参考答案及评分标准
一、选择题:每小题5分,满60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D A C C A B C A B C
二、填空题:每小题5分,满20分.
(13){0,3} (14)4 (15)-2 (16)
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)解:(Ⅰ)由 知 ,
则 是以 为首项,公比为 的等比数列. …………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 是首项为 ,公比为 的等比数列,
, …………7分
①
则 ②
①-②得: =
…………12分高三数学(理)试题答案 第2页(共6页)
(18)解:(Ⅰ)
有效 无效 合计
使用方案A 组 96 24 120
使用方案B 组 72 8 80
合计 168 32 200
…………2分
使用方案A 组有效的频率为 ;使用方案B 组有效的频率为
…………5分
(Ⅱ) <3.841
所以,不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关.
………12分
(19)解:证明:(Ⅰ)取AE 中点G,连GF、GB.
E
D
B C
F
A
G
点F 为DE 中点 GF∥AD,且GF=
又 AD∥BC,AD=2BC,
GF∥BC,且GF= .
四边形CFGB 为平行四边形,则CF∥BG.
而 平面EAB,BG 平面EAB, CF∥平面EAB, …………5分
(Ⅱ) CF⊥AD AD⊥BG,而AB⊥AD,
AD⊥平面EAB,
AD⊥EA.
又 平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,高三数学(理)试题答案 第3页(共6页)
EA⊥平面ABCD,
以A 为坐标原点,分别以AB、AD、AE 为 轴建立空间直角坐标系,则
B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),F(0,1,1).
设平面BCF 法向量为 ,知 ,即 ,
不妨令 ,可得
设平面CDF 法向量为 ,同理可求得 , …………7分
. …………11分
由于二面角D-CF-B 为钝二面角,则二面角D-CF-B 的余弦值为 .
…………12分
(20)解:(Ⅰ)知A 、B ,设点P 坐标为
切线 : ,联立 ,由抛物线与直线 相切,解得 ,
即 : ,同理, :
联立 的方程,可解得 ,即点P 的坐标为 …………6分
(Ⅱ)设 M ,且 ≤ ≤
由 得高三数学(理)试题答案 第4页(共6页)
即 ,解得 ,
则 ,即 为定值1. …………12分
(21)解:(Ⅰ) ,则 ,
=
= = ﹥ ﹥ >0
在 上单调递增 …………5分
(Ⅱ)由 知
由(Ⅰ)知 在 上单调递增,且 ,
可知当 时, ,则 有唯一零点,
设此零点为 ,
易知 时 >0, 单调递增; 时 <0, 单调递减,
知 ,其中
令 ,
则 ,高三数学(理)试题答案 第5页(共6页)
易知f(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,∴G′(x)>0,
G(x)在(-1,+∞)上单调递增,且
① 当0< <4时, > ,由 在 上单调递增知 >0,
则 > ,由 在 时单调递增,
, 在 上均恒成立,
则F(e-4-1)=lne-4-a·f(e-4-1)+4=-a·f(e-4-1)<0
∴
∴ 在 上有零点,与条件不符;
② 当 =4时, = ,由 的单调性知 =0,
则 = ,此时, 有一个零点,与条件不符;
③当 >4时, < ,由 的单调性知 <0,
则 < ,此时, 没有零点;
综上所述,当 无零点时,正数 的取值范围是
…………12分
(22)解:(Ⅰ)∵AB 为圆O 的直径,
∴AC⊥BD,而BC=CD.
∴AB=AD,而∠DBA= ,
∴ 为等边三角形.连BE.由AB 为圆O 的直径.
∴AD⊥BE∴E 为AD 中点. …………5分高三数学(理)试题答案 第6页(共6页)
(Ⅱ)连CO,易知CO∥AD,
∵CF 为圆O 的切线∴CF⊥CO,
∴CF⊥AD,又BE⊥AD,
∴BE∥CF,且CF= ,由CF= 知 ,
∴ . …………10分
(23)解:(Ⅰ)由 知直角坐标方程为 ,
及 ( >-3) …………5分
(Ⅱ)将 代入曲线C 的直角坐标方程得 ,
化简得 .
曲线C 与直线 仅有唯一公共点,
解得 . …………10分
(24)证明:
(Ⅰ) ,等号在
时取得,即 的最大值为1. ………5分
(Ⅱ) ,因为 ,
所以, >6,
所以,不存在这样的a,b.使得A+B=6. ………10分
