2013年安徽省皖北协作区高三年级联考数学（理科）参考答案及评分标准
2013皖北协作区联考数学理科试题答案下载
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B C C C B D C
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11． 任意 ，都有 成立； 12. 672 13.
14. 2 15. ②、④、⑤
三.解答题：本大题共6小题，共75分
16. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ） ………………………2分
∵ 时， 取得最大值.
∴ . 得 . ……………………………………5分
（注：其它方法请合情给分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
∴ .∵ 是 的内角, ∴ .……………7分
由正弦定理 得 .
即 . 或 ； 得 或 . ……………………10分
∴当 时， .
当 时， . ……………12分
（也可求由余弦定理 求 ，再用 求面积）
17. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知“网球爱好者”人数为 ， ， ， .……………………3分
.……………5分
因为 ,
所以有95％以上的把握认为“网球爱好者”与性别有关。………………………………6分
（Ⅱ） 所以X的分布列为：
或 .
.…………………………………………………………………………12分
18 .(本小题满分12分)
解：解法1：（Ⅰ）连结 与 交于点 , 连结 ，∵ 为 的中点，
∴ 且 ,又 且
∴ 且 ∴四边形NFCE为平行四边形
∴ ∵ , 平面 ,
面 ∴ ， 又
∴ 面 ∴ 面 ………………………………………5分
（Ⅱ） 延长 与 的延长线交于点 ,连结 ，则 为平面 与 的交线
∵ , ∴
∴ , , ,在以 为圆心、以 为半径的圆上，
∴
∵ 平面 , 面 ,
∴ 且 ,
∴ 面 ∵ 面 ,
∴ .
∴ 为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角,
∴ ＝45°在 中 .………………………………………12分
解法2：（Ⅰ）如图以点 为坐标原点，以 , , 所在的直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系如图所示： 设
则
, .
∴ , ,
.
∵ , .
∴ ∵ 、 面 ，且 .
∴ 面 ……………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ,设 是面 的法向量，则 , 即 令 ，则 ， ∴
∵ 平面 , ∴ 是 的一个法向量，……………………9分
故 得 .
∴ 的长为 .（利用射影公式 可酌情给分）…………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由题意该函数的定义域为 ，由 ,因为曲线 存在平行于 轴的切线，故此时斜率为 ，问题转化为 范围内导函数 存在零点.
解法1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点.当 不符合题意，当 时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当 如图2，此时正好有一个交点，故有 .
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，可得 ； …………………………………………………………………………5分
（Ⅱ） ， ，
函数 在区间 上是单调递减的，
在区间 上恒成立，即
在区间 上恒成立.令 ，
①当 时， ，此时，函数 在区间 上是单调递减
②当 时，函数 开口向上，对称轴为 ，只需
， ；
③当 时，函数 开口向下，对称轴为 ，
只需
综上可知 .…………………………………………………………12分
20. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）先判断出 在椭圆上，进而断定点 和 在抛物线上，故 在椭圆上，所以椭圆 方程为 ，抛物线 方程为 ；……………5分
（Ⅱ）设 ，
消去y得： ，
由 得 ， ① ……………………………………………7分
而 ，
故 .
欲使左焦点 在以线段 为直径的圆 的外部,则
.
整理得： 即 . ②…………………………………………12分
由①②可得 的取值范围是： ∪ .…………………………………13分
21.(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）解法1
. …………………………………………………………………4分
解法2：当 时， .
当 时，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
.
综上可知 ；………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
， ， .
猜想：
.……………………………………………………7分
证明： 时， 成立；
假设 时， 成立，则 时，
成立.
综上可知对一切的 都有 成立.……………………………………10分
若存在正整数k使得 成立，则
或
或
，
当 成立时，只有 ，即 时， 有最小值为4.
当 成立时，只有 ，即 时， 有最小值为2
综上可知 有最小值为2.…………………………………………………………………14分
