2013浙江六校联考数学文科试题及答案(一)
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2013年浙江省六校联考
数学（文）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集 ，集合 则集合 = （ ▲ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，若 （其中 为虚数单位），则 （ ▲ ）
A． B．
C． D．
3.“ ”是“直线 与直线 互相平行”的 （ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若实数 ， 满足不等式组 则 的最大值为 （ ▲ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为 （ ▲ ）
高一级 高二级 高三级
女生 373 y x
男生 327 z 340
A．14 B．15 C．16 D．17
6.设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 （ ▲ ）
A．若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C．若 ， ，则 D. 若 ， ，则
7.将函数 的图像向左平移 个单位后得到的图像对应的解析式为 ，则 的值可以是 （ ▲ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 在 方向上的投影为 ， 在 轴上的投影为 ，则 （ ▲ ）
A.(1， ) B. C. D.( )
9．已知椭圆： ，左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，若 的最大值为8，则 的值是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
10．定义域为[ ]的函数 图像的两个端点为A、B，M(x，y)是 图象上任意一点，其中 ．已知向量 ，若不等式 恒成立，则称函数f (x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数 在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 （ ▲ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．从集合{1，2，3，4，5, 6}中随机抽取一个数为a，从集合{2，3, 4}中随机抽取一个数为b，
则 的概率是 ▲ .
12．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 ▲ .
2 2
13．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 ▲ .
14.已知同一平面上的向量 ， ， ， 满足如下条件：
① ； ② ； ③ ，
则 的最大值与最小值之差是 ▲ .
15.设 ，若 恒成立，则k的最大值为 ▲ .
16. 分别是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是 的内心，且 ，则双曲线的离心率e= ▲ .
17．已知函数 ，给出如下四个命题：
① 在 上是减函数；
② 的最大值是2；
③函数 有两个零点；
④ 在R上恒成立；
其中正确的命题有 ▲ .（把正确的命题序号都填上）.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）已知函数 在区间 上的最大值为2.
（Ⅰ）求常数 的值；
（Ⅱ）在 中，角 , , 所对的边是 , , ，若 ， ，
面积为 . 求边长 .
19．（本题满分14分）数列 的前 项和 ，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 ．
20．（本题满分14分） 如图所示， 四棱锥 的底面是边长为 的正方形， ， ， ， 为 上一点， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，指出 点的位置，并证明；
若不存在，说明理由．
21. (本题满分15分)已知函数 ．
（Ⅰ）若 时， 取得极值，求 的值；
（Ⅱ）求 在 上的最小值；
（Ⅲ）若对任意 ，直线 都不是曲线 的切线，求 的取值范围．
22. (本题满分15分)
已知抛物线C的方程为 ,直线l: 轴的交点在抛物线C准线的右侧.
(Ⅰ)求证:直线l与抛物线C恒有两个不同交点；
(Ⅱ)已知定点 ,若直线l与抛物线C的交点为Q、R,满足 ,是否存在实数 , 使得原点 到直线l的距离不大于 ,若存在，求出正实数 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年浙江省六校联考
数学（文）答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 B C D C B D C A D D
二、填空题（每小题4分，共28分）
三、解答题（共72分）
18.(本题14分）
解：(1) ……… 2分
∵ ∴ ……… 3分
∵ 函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
∴当 即 时，函数 在区间 上取到最大值. ……… 5分
此时， 得 ……… 6分
（2）∵ ∴
∴ ，解得 (舍去)或 ……… 8分
∵ ， ∴ …………① ……… 10分
∵ 面积为 ， ∴ 即 …………②
由①和②解得 ……… 12分
∵ ∴ ……… 14分
19．（本题满分14分）
解：（1）由 ，得 ；由 ，得 ．
∴ ，解得 ，故 ； ………… 4分
（2）当 时， ． …… 7分
由于 也适合 ． ……… 8分
∴ ； ……… 9分
（3） ． ……… 10分
∴数列 的前 项和
． ……… 14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,
PA2 + AD2 = PD2, 即：PA ^ AD ………2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,
PA ^ 平面ABCD ………4分
（Ⅱ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0 ，0， 0），D（0，1，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , 23 ,13 ）,
= （1,1,0）, = （0 , 23 ,13 ）, = （0,1,-1） ………5分
设平面AEC的法向量 = （x, y,z） , 则 ，即： ， 令y = 1 ,
则 = （- 1,1, - 2 ） ………6分
设直线 与平面 所成角为 ，则 ………8分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 。 ………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面AEC的一个法向量可设为 = （- 1,1, - 2 ）
假设侧棱PC上存在一点F, 且 ＝ （0 £ £ 1）,
使得：BF//平面AEC, 则 ＝ 0． ………11分
又因为： ＝ + ＝（0 ，1，0）+ （- ,- , ）= （- ,1- , ）,
＝ + 1- - 2 = 0 , = 12 , ………13分
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC． ………14分
21. （本题15分）
(III)因为 ，直线 都不是曲线 的切线，
所以 对 成立， ………………12分
只要 的最小值大于 即可，
而 的最小值为
所以 ，即 ………………15分
22. (本题满分15分)
证明：（Ⅰ）由题知 ,联立 ，消去x可得
且
所以直线 与抛物线 恒有两个不同的交点； ………………5分
（Ⅱ）解：设 ，由（﹡）可得
故
………………8分
（如上各题若有其他解法，均可酌情给分）
