2013惠州高考四模数学文试题及答案
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惠州市2013届高三第一次模拟考试
数学试题（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设集合 若 且 则 等于( )
A． B． C． D．
2．已知复数 (为虚数单位），则复数 在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设抛物线的顶点在原点,准线方程为 则抛物线的方程是( )
A． B． C． D．
4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( )
A．2 B．6 C．7 D．8
5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位： ），可得这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩
86 89 89 85
方差
2.1 3.5 2.1 5.6
从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）
A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．已知向量 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
8．设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 万件时的生产成本为 (万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件
10．设 为曲线C： 上的点，且曲线C在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．某地区高中分三类， 类学校共有学生2000人， 类学校共有学生3000人， 类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则 类学校中应抽学生 人．
12．若等比数列{ }中 则 等于 ．
13. 执行如右图的程序框图，那么输出 的值是 ．
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为 ，曲线 ： 上的点到直线的距离为 ，则 的最大值为 ．
15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 的直径 , 是 的延长线上一点，过点 作圆 的切线，切点为 ，连接 ，若 ,则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
（1）求角 的大小；
（2）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小．
17. （本小题满分12分）为了了解2013年某校高三学生的视
分组 频数 频率
（3.9，4.2] 3 0.06
（4.2，4.5] 6 0.12
（4.5，4.8] 25 x
（4.8，5.1] y z
（5.1，5.4] 2 0.04
合计 n 1.00
力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为 ， ，… ， 经过数据处理，得到如右频率分布表：
（1）求频率分布表中未知量 的值；
（2）从样本中视力在 和 的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
18．（本小题满分14分）如图，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中点，
（1）求证： ；
（2）求四面体 的体积．
19.(本小题满分14分) 已知 ，直线与函数 的图象都相切于点 ．
（1）求直线的方程及 的解析式；
（2）若 （其中 是 的导函数），求函数 的极大值.
20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，一个顶点为 ，且其右焦点到直线 的距离为3.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 ，且满足 ．
求直线的方程.
21．（本小题满分14分）已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 的两根，且 ．
（1）求证: 数列 是等比数列；
（2）设 是数列 的前 项和，求 ；
（3）问是否存在常数 ，使得 对任意 都成立，若存在，求出 的取值范围; 若不存在，请说明理由．
惠州市2013届高三第一次模拟考试试题
数 学（文科）答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C B C C B B A
1．【解析】 ，故 ，故选A。
2.【解析】因为 ,所以 对应的点在复平面的第二象限. 故选 ．
3.【解析】抛物线的准线方程为 ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为 则其准线方程为 ∴ 解得 ∴抛物线的标准方程为 .故选 。
4．【解析】数字共有 个,当数字 时,有 项,所以第 项是7，故选C。
5.【解析】由三视图可知，该几何体为底面是正方形边长为 ，高为 的四棱锥，故 ，故选B。
6.【解析】乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，丙的发挥较稳定，故选C。
7.【解析】 ， 故 ，解得 ，故选C
8.【解析】做出不等式对应的可行域如图，由 得 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线的截距最大，而此时 最小 为，选B。
9.【解析】 利润 当 时,有最大值.故选B
10.【解析】设 ，倾斜角为 ， ，则 ,解得 ，故选A。
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
11. 200 12. 16 13. -1 14. 15.
11.【解析】200人，高中生共有9000人，抽取900，抽取比例为 ，故 类学校中应抽学生 人。
12.【解析】 ∵ 是等比数列且 ∴ .
13.【解析】由框图知：
不满足条件，输出 的值是 .
14.【解析】直线的直角坐标方程为 ，曲线C的方程为 ，为圆； 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为
15.【解析】连接 ， ， 中， ，故
，所以 ，由切割线定理 ，
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分12分）
解：（1）由正弦定理得 ……2分
因为 所以 从而 ……4分
又 所以 则 ……6分
（2）由（1）知 ……7分
……9分
………………………………10分
从而当 即 时， 取最大值2.……………12分
17. （本小题满分12分）
解：（1）由表可知，样本容量为 ，由 ，得 ，由 ；…3分
， ……6分
（2）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为 ，在（5.1，5.4]的2人为 ．7分
由题意从5人中任取两人的基本事件如下：
，共有10个基本事件………9分
设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A等价于“抽取两人来自同一组”包含的基本事件有：
，共有4个基本事件 ……11分
∴ ， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为 ． ……12分
18．（本小题满分14分）
（1）证：取 的中点 ,连接 、 ，………… 1分
则 为中位线，
又 …………3分
故四边形 是平行四边形,即 …5分
面 ； 面
面 ………7分
（2）解： ，面 面 且交于
面 ，即 就是四面体 的高， ………10分
……………………………………………………12分
……………………………14分
19.(本小题满分14分) 解：（1）直线是函数 在点 处的切线，故其斜率 ，
∴直线的方程为 …………………2分
又因为直线与 的图象相切，且切于点 ，
∴ 在点 的导函数值为1.
，…………………4分
∴ ……………6分
（2） …………………7分
∴ …………………9分
令 ，得 或 （舍）…………………10分
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减 …………12分
因此，当 时， 取得极大值， ……14分
20．（本小题满分14分）
解 (1)设椭圆方程为 ， 则 . ………………1分
令右焦点 ， 则由条件得 ，得 .…………3分
那么 ,∴椭圆方程为 .………5分
(2)若直线斜率不存在时，直线即为 轴，此时 为椭圆的上下顶点，
，不满足条件；………6分
故可设直线: ,与椭圆 联立，
消去 得： .………7分
由 ，得 . ………………8分
由韦达定理得
而 ………………10分
设 的中点 ，则
由 ，则有 .
………………11分
可求得 . ………………12分
检验 ………………13分
所以直线方程为 或 .………14分
21．（本小题满分14分）
（1）证明： 是方程 两根， …1分
……3分
故数列 是等比数列，首项 公比为-1的等比数列……4分
（2）由（1）得 ，即 ……5分
……6分
= = ……7分
（3） ……8分
要使 对任意 都成立，
即 (*)对任意 都成立
①当n为正奇数时，由(*)得
即
对任意正奇数 都成立。
当且仅当 时， 有最小值1， ……11分
②当n为正偶数时，由(*)得
即
对任意正偶数 都成立。
当且仅当 时， 有最小值 ， ……13分
综上所述，存在常数 ，使得使得 对任意 都成立，
的取值范围是 ……14分
