2014乌鲁木齐三模数学理科答案及评分标准
见附件 理科数学试题参考答案及评分标准.doc
乌鲁木齐地区2014年高三年级第三次诊断性测验试卷
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B B C A C B B D D C C B
1.选B.【解析】∵ ， ∴
2.选B.【解析】∵ ，对应的点为 在第二象限
3.选C.【解析】由 知 或 ，分别解之，得 或 .
4.选A.【解析】∵ ，∴ ，且 ，
又 ，∴ ，∴
5.选C.【解析】∵ ，此时 ，为使输出的 ，必须有 ，所以
6.选B.【解析】由题意及正弦定理得 ，∴ ，
∴ ，又 ，故 ，∴ ，而 ，
∴ ，即 ，将 代入，
得 ，∴ ，或 ，而 ，故
7.选B.【解析】此几何体的直观图如图所示，
∴
8.选D.【解析】依题意，有 ，即 ，其中 且 ，∴ ，即 ， ，由 且 ，得 ，∴ ， ，故，选D（此时 ）.
9.选D.【解析】令 ，∵其图象关于 对称，∴ ，
即 ，∴ …⑴
令 ，∵其图象关于直线 对称，∴ ，
即 ，∴ …⑵
由⑴⑵得， ，∴ …⑶
∴ ，由⑵得
∴ ；∴A对；
由⑶，得 ，即 ，∴B对；
由⑴得， ，又 ，
∴ ，∴C对；
若 ，则 ，∴ ，
由⑶得 ，又 ，∴ ，即 ，与题意矛盾，∴D错.
10.选C.【解析】∵ ， ，∴ 的图象在 处的切线方程为
，它与圆 相切，∴ ，即 ，∵ 时有 ，∴ ，∴ 的最大值是 ，此时 .
11.选C.【解析】设 的外接圆的圆心为 ，由 ， ，知 ，∴点 为 的中点，∴ ，设直线 交球 于 和 ，不妨设点 在线段 内，∴ 为四面体 高的最大值，
∴ ，依题意知， ，即 ，当且仅当点 与 重合时， 取最大值，此时 ，由 ，得 ，∴ ，∴ .
12.选B.【解析】不妨设 的两条渐近线 的方程分别为 和 则右焦点 到直线 的距离 ，又由 ，得 ，∵ ，∴ …①
∵ ，∴ …②，①②联立，解得
在 中， ，而 且
∴ ，即 ，解得 ，或 （舍）
∴ ，即 ，∴离心率
二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】∵ ，令 ，即 ，
∴常数项为
14.填 .【解析】设点 ，由 ，得 ，
又∵点 在椭圆 上，∴ ，∴ …①，
∵点 在椭圆 上，∴ …②，由①②可得 .∴射线 的斜率为 ．
15.填 .【解析】依题意，有 ， 是常数. ∴ ，即 ，易知 ，∴ ，令 ，解得
16.填 .【解析】依题意，设直线 的方程为 ，它与抛物线 交于点 ，线段 的中点 的坐标为 ，则 ，
…⑴由方程组 ，得到以 为根的一元二次方程
，则 且 ， …⑵
不妨设 ，依题意知 ，
即 …⑶，
将⑵代入⑶，化简得 ，即 ，∴ …⑷
又∵ ，∴ ，故 ，
而 ，得 ，代入⑷，化简得
三、解答题
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵ 成等差数列，∴ ，
∴ ，即 ，∴公比
∴ …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∵
∴
…12分
18．（本小题满分12分）
取 的中点 ，连接 ，则有 ∥ ，故 平面 ，
在正三角形 中， 是 的中点，故 ，
如图，以 为原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，即
又∵ ，
∴ ，即
而 ，∴ 平面 ； …6分
（Ⅱ）设平面 的法向量为 ，
则有 ，即 ，令 ，则
即 ，由（Ⅰ）知平面 的一个法向量为
设二面角 的平面角为 ，易知 ，
∴ ． …12分
19．（本小题满分12分）
设“两位专家都同意通过”为事件 ，“只有一位专家同意通过”为事件 ，
“通过复审”为事件 ．
（Ⅰ）设“某应聘人员被录用”为事件 ，则
∵ ， ，
∴ …6分
（Ⅱ）根据题意，
表示“应聘的 人中恰有 人被录用” ．
∵ ， ，
， ，
∴ 的分布列为
∵ ～ ，∴ …12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）分别过 作准线的垂线，垂足分别是
则 ∴ ，
∴ ，∴ …①
中， …②，
中， …③
将②③代入①，得 ，∴
∴ ∴ ，∴ ．…6分
（Ⅱ）依题意可知，抛物线为 ，直线 的斜率 存在且 ， 的方程为 ，设交点 ， ，满足 ，
即 满足 ，∴ ，∴ ，
且 设 ，由 ，其中 ，
得 ，∴ ，
而
代入 ，得 ，化为：
得， ，而 且 ，
∴ ，或 ，或 ，或 ． …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）令 ，则 ，
当 时， ，函数 递减
当 时， ，函数 递增，故 在 处取得最小值
即，对 ，有 ，故
令 ，则 ，
当 时， ，函数 递增
当 时， ，函数 递减，故 在 处取得最大值
即，对 ，有 ，故
∴ …6分
（Ⅱ）令 ，则
⑴当 时， ，∴当 ，∴ ， ∴ ，∴函数 为减函数，∴当 时， ，
即 时， 成立
⑵当 时，
则对 ， ，∴ ，
∴ ，∴函数 为减函数，
∴当 时， ，即 时， 成立
⑶当 时，由 ，知
∴当 时，∴ ， ，∴
当 时，∴ ， ， ，
∴函数 的减区间为 ，增区间为
又∵
∴对 ，
故，当 时， 成立
⑷当 时，有 ，∴
即 ，与题意矛盾
综合⑴⑵⑶⑷， ，对 ，有 ． …12分
22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）如图，由题意可知
∴ ∽ ，∴ ，
同理， ，又∵ ，
∴ ，∴ …5分
（Ⅱ）如图，由切割线定理，得 ，∵ ∥ ∴ ，
又∵ 切圆于 ，∴ ，∴ ，
∴ ∽ ，∴ ，即
∴ ，即 ，∴ 为线段 的中点． …10分
23．（本小题满分10分）
（Ⅰ）设曲线 上任意点 的坐标为 （ ）
依题意，直线 的普通方程为
点 到 的距离为
∵ ，∴ ，
∴
即 ，
当 ，即 时， …5分
（Ⅱ）设射线 的极坐标方程为 ，依题意可知，动点 的极坐标为 ， ，由 ，得 …⑴
点 在直线 上，∴ …⑵，
，∴ …⑶，
将其代入⑴得 ，即
由 ，∴ ，其中
∴所求动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆除原点后的部分 …10分
24．（本小题满分10分）
（Ⅰ）∵
∵
∵ ，∴ ，∴ ，
同理， ，
∴
∴
∴ …5分
（Ⅱ）∵ ，∴ ，由柯西不等式得
即 ，∴
故， ，当且仅当 时不等式取等号 …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
