理科数学试题参考答案及评分标准.doc
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C D C C B B C A B A C A
1.选C.【解析】由 得 ，故 ，∴ .
2.选D.【解析】∵ ，
∴ 的充要条件是 .
3.选C.【解析】由题意得， 解得 ， ，又 ，
∴ ，∴ .
4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示
∴ .
5.选B.【解析】∵ 是偶函数，∴ ，
∴ ，令 ， .
6.选B.【解析】循环体执行第一次时： ；循环体执行第二次时：
循环体执行第三次时： ；∴输出 .
7.选C.【解析】当向量 两两成 角时， ；当向量 两两成 角时，∵ ；
∴
8.选A.【解析】根据题意有 ，∴点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线， ，方程为 .
9.选B.【解析】∵ 过 ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ 过 ，∴ ，∴ ，或 ，即 ，或 ，又 ，选B.
10.选A.【解析】∵ ，当 时，有
∴ ，即，当 时， 越大， 的值越小， ，∴ .
11.选C.【解析】∵从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数有 个；其中，能被 整除的，可以分为“含 ”与“不含 ”两类；
“含 ”：由这样的数字构成： ，它们组成的无重复数字的三位数有 个；或由 构成，它们组成的无重复数字的三位数有 个，共有 个
“不含 ”：由这样的数字构成：⑴含 中的一个，另外两个数字分别为
，它们组成的无重复数字的三位数有 个；
⑵由 三个数字构成无重复数字的三位数有 个；⑶无 ，由 组成无重复数字的三位数有 个，
故，从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被 整除的共有 个，∴能被 整除的概率为 .
12.选A.【解析】设 ， ，由 过焦点 ，易得 ， ，则有 ，同理 ，将 点代入直线方程 ，有 ，两边乘以 ，得 ，又 ， ，所以 ，同理
故，所求直线为 ．
二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】依题意有 ，两式相减得， ，
∴ .
14.填 .【解析】根据题意，阴影部分的面积为 ，
即， ， ，又 ，故 .
15.填 .【解析】设半径为 的球内接直三棱柱 的上下底面外接圆的圆心分别为 ，则球心 在线段 的中点处，连接 ，
则 ，在 中， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴此球的表面积等于 .
16.填 .【解析】曲线 ，则 ，设 ，
依题意知 …⑴， …⑵，∴ 是方程 的两个根∴ …⑶，下证线段 的中点在曲线 上，
∵
，而
∴线段 的中点在曲线 上，由⑶知线段 的中点为
，解得 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在 中， ，
，
， …6分
（Ⅱ）由 ， ，得
而
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 时， …12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在梯形 中，∵ ∥ ，∴ ，
又 ，∴ ∥ ∥
在 中，∵ ， ，∴ ∥
∴平面 ∥平面 ； …6分
（Ⅱ）在 中，
∴ ，即 ，又平面 ⊥平面
∴ ⊥平面 ，而
故，如图，以点 为坐标原点，分别以
所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
在梯形 中， ，
，∴ ，
则有 ，
由 ，得 ，
，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，解得 ，∴
同理，可得平面 的法向量为
设二面角 的平面角为 ，易知 ，
∴ ． …12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）若取出的 个球都是红色，共有 种情形，若取出的 个球都是黑色，共有 种情形，故取出的 个球同色的概率为 ； …6分
（Ⅱ）依题意知
； ； ；
；
∴ 的分布列为
∴ …12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）根据题意有 ，又 ，解得
∴椭圆 的方程为 …5分
（Ⅰ）不妨设 为椭圆 的右焦点
当直线 的斜率 存在时， 的方程为 …⑴，
设 ， ，把⑴代入椭圆的方程，得关于 的一元二次方程：
…⑵
∵ ， 是方程⑵的两个实数解，∴ …⑶
又 ，
∴ ，同理 ，
∴ …⑷
把⑶代入⑷得， …⑸
记 为直线 的倾斜角，则 ，由⑸知 …⑹
当 的斜率不存在时， ，此时 的坐标可为 和
或 和 ，∴ …⑺
由⑹⑺知，当直线 的倾斜角为 时 …⑻
同理，记直线 的倾斜角为 时 …⑼
由 得， ，
，∴ 或 ，依题意 ，∴
当 时，
…⑽
当 时， …⑾
由⑽、⑾知当直线 的倾斜角为 时， …⑿
同理， …⒀
由⑿、⒀知，四边形 的面积为
令 ，∵ ，∴
则
∵ ， ∴ ，当 ，或 时， ，
递增，当 时， ， 递减，
∴当 时， 取最大值，即
∴当 时，四边形 的面积 …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）令 ，则
当 时， ，∴函数 在 时为增函数，
∴ 时， ，即
当 时， ，∴函数 在 时为减函数，
∴ 时， ，即 ，
则，当 时， ，∴ ， ； …5分
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明
ⅰ）当 时， ，知 ，∴ 时，命题成立
ⅱ）假设 时，命题成立．即
要证明 时，命题成立．即证明 ，只需证明
依题意知 ，即证明：
当 时，有 ，由（Ⅰ）可知 ，即
∴当 时， ，∴函数 ， 时为增函数
由归纳假设 ，即 ，
∴ …⑴
依题意知 ，故又只需证明 ，即只需证明 ，
构造函数 ，
，由（Ⅰ）知 ，即 ，∴
∴函数 ， 为增函数，∴ ，即
则 …⑵，由⑴⑵及题意知 ，即
综合ⅰ）ⅱ）知，对 ，都有 成立．
22．选修4—1：几何证明选讲
（Ⅰ）连接 ，因为四边形 是圆的内接四边形，
所以 ，又 ，
所以 ∽ ，即有 ，
又 ，所以 …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ∽ ，知 ，
又 ，∴ ， ∵ ，∴ ，而 是 的平分线∴ ，设 ，根据割线定理得
即 ，解得 ，即 …10分
23．选修4－4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）直线 的方程为 圆 的方程是
圆心到直线的距离为 ，等于圆半径，
∴直线 与圆 的公共点个数为 ； …5分
（Ⅱ）圆 的参数方程方程是 ∴曲线 的参数方程是
∴
当 或 时， 取得最大值
此时 的坐标为 或 …10分
24.选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）∵ .
因此只须解不等式 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
综上，原不等式的解集为 . …5分
（Ⅱ）∵
又 0时，
∴ 0时， . …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
