2013年3月市质检数学（理科）阅卷分析
2013年3月厦门高三市质检数学理科答案分析
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2013年3月市质检数学（理科）阅卷分析.doc
第16题：题组长 湖滨中学 李明
1．思想与方法：本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．
2. 全市平均分：
3．存在的主要问题
第一问：（1）直接写出结果 ，没有中间过程。
（2）没有化为 直接求出 的值。
（3）公式及特殊值记忆模糊，许多学生写成 或
第二问：（1）对图象平移理解不到位，平移后的解析式对应图象与题目所给图象位置不符学生却不能发现错误之所在。
（2）无法从表达式得出最高、最低点的坐标。
（3）本问有多种解法，但是不少学生却无从下手，说明解三角形的基本思想方法没有掌握。
4.教学建议：（1）展示学生典型错误，认清错误原因。
（2）加强解三角形的基本思想、方法的训练。
（3）告诉学生解答题必须要有完整过程，不能直接写答案。
第17题：题组长 科技中学 曲道强
一、考查目标：本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力。满分13分
平均分：7.22；标准差：3.89；难度系数: 0.56; 分数分布
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
418 323 243 201 619 368 569 378 664 1051 376 294 517 796
二、解法补充：
第一小题建立坐标系解法：证明向量 与平面 的一个法向量平行；
第三小题说明C、E点在平面PBQ同侧，再利用体积法分别求得C、D点到平面的距离，可以得到E点到平面PBQ的距离为D点到平面PBQ距离的 ，从而得到E为线段PD的三等分点.
三、典型错误分析
（1）没有任何计算说明，直接说出面OP OD；;
（2）逻辑推理不严密，定理条件不全，在证明线面垂直时，没有指出平面内两条相交直线等；
（3）建系错误，如：左手系、以AD、AB、AP为x、y、z轴(为避免高考中可能出现的数值不正确导致误判失分，建议学生一律使用右手系)；
（4）坐标运算错误，包括点的坐标错误、法向量计算错误等；
（5）解题格式不规范，没建立空间直角坐标系就直接写点坐标，向量没写上标，空间立体图形的实线与虚线的不同用法等等；
（6）判断所求二面角 的平面角为钝角，造成错误，或仅出现 ，没有说明 的意义，没有最后结论；
（7）书写错误(不规范)举例：“ ”,“ ”,“ ”“ ”,“ ”，“ ”,“ ”,“ ”等.
四、今后教学建议
（1）重视基础知识的复习与巩固。特别是垂直、平行关系的判断与证明；
（2）注意解题方法的归纳，把各种解题方法归纳到位，让学生有清晰的解题方向；.
（3）教师应再次强调学生在立几证明时要特别注意条件的准确书写，做到不缺漏，表达规范；
（4）强化学生运算能力的训练，尤其是含字母的法向量的运算。侧重运算能力的培养，运算能力是一切的基础，在有多好的想法，没有运算能力的支撑，一切都将成空；
（5）在试卷讲评中老师要帮助学生分析答题中的得分点，学会踩点书写，分部得分，教师应以身示范，从严要求，持之以恒，方能奏效.
第18题：题组长 厦门二中 祝国华
第19题：题组长 厦门一中 肖文辉
一、考查知识、能力及数学思想方法及考查情况分析
本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、应用数学建模解决问题、分类与整合思想。满分13分. 全市均分：4.9分.
人数分布：
0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分 11分 12分 13分
1120 537 52 478 1420 1125 533 638 1380 443 176 39 23 59
二、优秀解法介绍和点评
第(Ⅰ)问，题意很容易理解，计算量较小，属常规常见题型，解法也较单一，故得分率应较高，但0分仍有1120人，只得3分的有1709人，占 左右，值得深思.
第（Ⅱ）问，都同题上法得： ，令
法2：（分离变量法）由题知 在 上有解，
即 在 上有解，∵ ，∴ ，
令 ，∴ ，∴ .
【此法较易，点评见后】
法3：（分类讨论法）
① 当 时，即 ， 恒成立，在 上， ，
∴ ，∴ 无单调递减区间，不合题意（舍去）
② 当 时，即 ，… ，…
故 ，解得 ，符合题意。
【此法较繁，点评见后】
（Ⅲ）另解法1： ，
由 ，令 ，因为 ， 或 ，
又∵ ， ， , = = ，
易知当 时， ， 在 上单调递减， .
点评：化归为 的函数，再构造函数求解，为较常见与较好的思路，
但①没注意 的范围限制；②计算能力仍有待提高。
另解法2：
由 ，得 ， ；
；
， ， ，
当且仅当 ，即 时取等，注意到取等条件一样，
，即为最小值.
点评：化归为 的函数，再构造函数求解，为较常见与较好的思路，
但①没注意 的范围限制；②没说明取等条件恰好相同；③计算能力仍有待提高。
另解法3：
∵ ， ， ，
令 ，由前法易知，
，令
∵ ， ， 无解， ， 在 上单减，
，又∵ ，
点评：同上
三、典型错误分析和点评
第(Ⅰ)问，分不清切线和直线垂直和平行的区别（或公式记错）如： 或 ，或许是在这位置（学生心理已有所恐惧），或全面的数列的折腾等，导致本小题尽还有1000多人的0分。
第（Ⅱ）问，①忽视定义域 ，使问题复杂化；
②把存在性问题，理解为恒成立问题导致出错；
③知道 在 有解，但对根的分布了解不清或不透误解，如：只考虑对称轴 或判别式 而至错；
④用另解法1（分离变量法）的书写格式大都在严谨性上有问题，但计算较容易。
⑤用另解法2（分类讨论法）的大都在分类上说不清或算错。
第（Ⅲ）问，方法多样（见上），主要不会化归、换元、构造函数（数学建模解决问题），换元时没考虑变量范围的改变，计算时出错，说明不清。
四、补救措施和后阶段复习建议
1．重视函数与导数基础知识的复习，特别要重视定义、公式的理解与应用。比如，导函数中的基础问题（如：切线，单调性，极值，最值），进而再多走一步（如：恒成立、有解，根（解）的个数或交点等问题.主张一般校抓住一些常见的基础问题（如3月全市教师培训上列举的）强化训练解决。重点校抓住中高档问题中的“类”加以归纳总结，在“解题方法”上的探究，加强“变式变形”的训练，也即进行“模式化”的训练，进而再达到“去模式化”的目的，做到举一反三、触类旁通。
2．注意解答过程中逻辑思维及书写的严谨性的训练，做到不缺漏，且有条理. 注意通过课堂的板演、作业的批改等，养成学生的书写规范及认真细心答题的习惯，减少无谓失分.
3．加强学生的阅读、分析、理解、解决问题能力的训练，在“准、快、好”三个字上多下文章，如：“再现训练”、“限时训练”、“错题集的整理与落实”、“方法本的消化与应用”等等。
4．重视运算能力的培养与训练，运算准确性与敏捷性是最重要的得分手段。“多思少算”只是一个理想化的东西，不能片面去理解，没有运算能力的支撑，一切都将成空，运算本身也包含了思维.
5．重视应试心理和策略的训练，引导学生克服畏难情绪，增强做压轴题的自信心，注意考试不要模式化训练，以致思维僵化，如：以为立几就必出在前三题，导函数就一定压轴等等；应选择一些难度适中的问题进行逐级训练，实质上压轴题第一问均很容易。通过各种有效的针对性训练，使学生增强解决压轴题的信心和能力，缩小各校间的差距。
第20题：题组长 松柏中学 蔡荣盛
一、考查情况分析
本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查特殊到一般的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14分。预计难度0.25—0.3。实测结果未达预期目标，具体数据如下：
分数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
人数 4083 1096 432 195 863 205 429 124 167 319 171 25 20 35 17
二、有别于参考答案的解法：
（Ⅱ）有另解一：设过B的切线CD方程是: ，则可得
与椭圆 联立得：
由 ，
又若 .故
于是
故当且仅当
（Ⅱ）有另解二：设 对椭圆 在x轴上方的部分函数求导可得：
于是，椭圆在B处的切线方程是
此时， ， 。
又 ，
故当且仅当 ，即 时， 最小值为
（Ⅲ）若 由（Ⅱ）知
过M的切线为 ，过N的切线为
又过M，N的切线都过
， 且
所以，直线MN的方程是：
此时，原点到直线MN的距离
即 存在定圆 与MN相切。
三、存在问题：
1．五成左右的学生本题放空，主要威慑于试题较大的阅读量，以及数学学习信心不足；另有部分学生答题时未能按要求写 的性质，而是写一般椭圆 的性质 ，既费时又答非所问，造成不必要的失分。
2．在得到 后，不少学生有
的错误解答，反应学生问题转化的条件意识较弱。
3．问题（Ⅲ）的解答学生思路不畅，主要原因有学生的“由特殊到一般”的思想方法和“化归与转化”思想弱所致。
四、教学建议：
1、后阶段的复习教学中应强化阅读能力训练，克服学生畏难情绪，真正提升分析问题和解决问题能力。
2、加强问题转化过程中条件意识的培养。提高答题的规范性和准确率，尽量减少不必要的失分。如问题中：切线方程 的直接引用；或 的错误。
3、加强学生的数学思想方法和数学综合分析问题的能力的训练，提升学生的综合竞争能力。
第21题：题组长 外国语学校 郑英昇
21（1）矩阵与变换：
均分 样本量 0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分
5.09 14682 1493 537 151 1822 689 1333 1642 7015
（1）本题的考查情况分析：本小题主要考查逆矩阵的求法、矩阵的乘法运算等基础知识，考查矩阵作用下的坐标变换表达能力、运算求解能力。
（2）优秀解法介绍和点评：在题（Ⅰ）中，利用 求逆矩阵。从效率上讲，不如运用公式法来得直接。
（3）典型错误分析和点评：①运算错误：1）逆矩阵公式记错；2）矩阵乘法运算错误；3）矩阵坐标变换（代入曲线）时运算错误。②文字表达错误：1）缺少必要的文字叙述，如此句：＂设直线 上任意一点 在矩阵 对应的线性变换作用下得到 ＂；2）概念不清导致的书写错误，如： = （有相当数量的考生这么写！）
（4）补救措施和后阶段复习建议：1）回归课本，弄清每个知识点；2）适当训练，掌握矩阵运算律；3）规范书写，教师要模范带头。
21（2）坐标系与参数方程：
均分 样本量 0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分
4.21 14139 2649 179 66 3168 798 1761 976 4542
（1）本题的考查情况分析：本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。
（2）优秀解法介绍和点评：①在题（Ⅱ）中，先写出C 的极坐标方程： ，再将 代入得一个交点 点评：虽然另一交点还未求出，但也是一种好解法。②设C 上的点为 化为直角坐标即 ，再代入圆的方程 得a=0或2；③不少考生注意到＂点的极坐标不惟一＂，故本题最后交点坐标的答案较＂开放＂。
（3）典型错误分析和点评：①运算错误：1)本应 ，却出现 ; 2)联立方程解交点时出错；2）极直互化错误：极 直 等；3）判断线圆关系式出错，删掉了极点，只剩一个交点。②极坐标表达错误，变成 。 ③概念不清导致的错误，错将题中先后出现 与 的两𠆤 视作同一𠆤角。换句话说，要是将第一个 换作 ，本小题均分会提高不少。
（4）补救措施和后阶段复习建议：1）回归课本，熟练掌握点的极坐标、简单曲线的极坐标方程；2）适当训练，保证极直互化运算不出错；3）渗透数形结合思想在解题中的应用。
21（3）不等式选讲：
均分 样本量 0分 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分
4.18 3497 650 76 117 332 559 286 686 791
（1）本题的考查情况分析：本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。
（2）优秀解法介绍和点评：在题（Ⅱ）中，写出分段函数： ，并作出其图像，由图像解不等式。采用此法，一定要有必要的文字说明。
（3）典型错误分析和点评：（1）未注明柯西不等式等号成立的条件，失1分；（2）解含绝对值的不等式时出错。
（4）补救措施和后阶段复习建议：1）强调柯西不等式取等条件；2）适当训练含绝对值的不等式的求解。
