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荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试
数 学（文）
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合 ，则
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是
A． ，使得 B．
C． D． 是 的充分不必要条件
3．若 ， 是两条不重合的空间直线， 是平面，则下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
4．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
5．对于函数 若 ，则函数 在区间 内
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A． B． C． D．
7．点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分
且包括边界）的任意一点，若目标函数 取得最
小值的最优解有无数个，则 的最大值是
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标平面上， ，且 与 在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为
A． B． C． 或 D．
9．对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为 ，其中 ，若一个99项的数列（ 的蔡查罗和为1000，那么100项数列 的蔡查罗和为
A．991 B．992 C．993 D．999
10．设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
11．若 ，若 ，则 ▲ ．
12．在△ABC中，若 ∶ ∶ ∶ ∶ ，则角 ▲ ．
13．已知 克糖水中含有 克糖（ ），若再添加 克糖（ ），则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ ．
14．由直线 上的点向圆 引切线，
则切线长的最小值为 ▲ ．
15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，
则该几何体的表面积为 ▲ ．
16．若函数 在其定义域内的一个子区间
内存在极值，则实数 的取值范围 ▲ ．
17．已知函数 ．
①若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ▲ ；
②若 ， 使得 ，则实数 的取值范围为 ▲ ．
三 、解答题(本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（本小题满分12分）
已知向量 ，设函数
（Ⅰ）求 在区间 上的零点；
（Ⅱ）若角 是△ 中的最小内角，求 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知等比数列 满足： ，且 是 的等差中项．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令 ， ，求使
成立的正整数 的最小值．
20．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 ．
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）求证：直线 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的余弦值．
21．（本小题满分14分)
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 （单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位:万元）随投资收益 （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型： ； ．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
22．（本小题满分14分）
如图，已知圆E: ，点 ，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与(Ⅰ)中轨迹 相交于 两点，直线 的斜率分别为
．△ 的面积为 ，以 为直径的圆的面积分别为 ．若 恰好构成等比数列，求 的取值范围．
荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试
数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）
1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．A
二、填空题：（每小题5分，5小题共25分）
11． ； 12． ； 13 ． （ 且 ）； 14． ； 15．32π＋3 16． ； 17．① ；② ．
三、解答题:(本大题共6小题，共75分)
18．因为向量 ，函数 ．
所以 …………………2分
………………………4分
（1）由 ，得 ．
， 或 …………………6分
， 或 ，又 ， 或 ．
所以 在区间 上的零点是 、 ． ………………………8分
（2）由已知得 从而 ……………………………………10分
， ………………12分
19. （1）设等比数列 的首项为 ，公比为
依题意，有 ，代入 ，
可得 ， …………………………………………………………………………2分
， 解之得 或 ……………4分
当 时， ； 当 时， ．
数列 的通项公式为 或 ． ………………………6分
（2）∵等比数列{an}是单调递增的， ， ，
③ …………………………………8分
④ 由③－④，得
……………………10分
即 ，即
易知：当 时， ，当 时，
故使 成立的正整数 的最小值为5. ………………………12分
20. (选修2一1第109页例4改编)
方法一：（Ⅰ）证明：连结 交 于 ，连结 ．
是正方形，∴ 是 的中点．
是 的中点，∴ 是△ 的中位线．
∴ ． ………………………2分
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． ………………………4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴ 平面 ，∴ ………………………6分
又∵ 是 的中点，∴
∴ 平面 ∴
由已知 ，∴ 平面 ………………………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知 面 ，则直线 在面 内的射影为 ，
∴ 为所求的直线 与面 所成的角． …………………10分
又 ，∴在 中 ∴
又
由 可得 ∴ ．∴
…………………12分
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 ． …………………13分
21． (必修一第127页例2改编)
（Ⅰ）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是：
①当 时， 是增函数；
②当 时， 恒成立；
③当 时， 恒成立． ………………………5分
（Ⅱ）（1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①；
但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求． ………………………8分
（2）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①
时 ，即 恒成立，满足条件②……10分
设 ，则 ，又
，所以 在 上是递减的， ……12分
因此 ，即 恒成立．满足条件③
故该函数模型符合公司要求；
综上所述，函数模型 符合公司要求． ………………………14分
22．(选修2一1第49页习题第7题改编)
（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4 ，
故动点Q的轨迹 是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分
设其方程为 ，可知 ， ，则 ，……3分
所以点Q的轨迹 的方程为为 ． ………………………4分
(Ⅱ)设直线 的方程为 ， ，
由 可得 ，
由韦达定理有：
且 ………………………6分
∵ 构成等比数列， = ，即：
由韦达定理代入化简得： ．∵ ， ………………………8分
此时 ，即 ．又由 三点不共线得
从而 ．
故
………………………10分
又
则
为定值． ………………………12分
当且仅当 时等号成立．
综上： ……………………14分
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