赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）试题 2016年1月
（考试时间120分钟. 共150分）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
2. ， ，则 =
A. B. C. D.
3.函数 的定义域是
A. B. C. D.
4.已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
A. B. C. D.
5.已知函数 ，下列说法正确的是
A. 是最小正周期为 的奇函数 B. 是最小正周期为 的偶函数
C. 是最小正周期为 的偶函数 D. 是最小正周期为 的奇函数
6.已知双曲线 ： 的焦距为 ，点 在双曲线 的渐近线上，则双曲线 的方程为
A. B. C. D .
7.已知命题 ，命题 ，使得 成立，则下列命题是真命题的是
A. B. C. D.
8.如图所示的程序框图输出的结果是
A. B. C. D.
9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画
出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该
三棱锥的主视图可能是
10.在直角坐标系中，函数 的图像可能是
11.在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，
，则 的值为
A. B. C. D.
12.设定义在 上的偶函数 ，满足对任意 都有 ，且 时， ，则 的值等于
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上中的横线上.
13.已知在等比数列 中，前 项和 ，则数列的通项公式 .
14.若 满足不等式组 ， ，则 的最大值是 .
15.函数 的一条对称轴为直线 ，则 的最小正周期为 .
16.已知 是定义在 上且周期为 的函数，在区间 上，
，其中 ，若 ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知数列 为等差数列， 为其前 项和，若 ， .
（1）求数列 的通项公式
（2）设 ， ，求 .
18.(本小题满分12分)
为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出 棵，每棵挂果情况如下（单位：个）：
157 161 170 180 181 172 162 157 191 182 181 173 174 165 158 164 159 159 168 169 176 178 158 169 176 187 184 175 169 175
（1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图
（2）如果挂果在175个以上（包括175）定义
为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）
定义为“非高产”．用分层抽样的方法从“高产”
和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵，
那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?
19.(本小题满分12分)
如图所示，四棱椎 中，底面 为菱形，
（1）证明：
（2）若 ， ，
为 中点，求四面体 的体积.
20.(本小题满分12分)
如图，已知椭圆 :
的右顶点为 ，离心率为 ，且椭圆 过点
，以 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知动直线 （直线 不过原点）与椭圆 交于 、 两点，且 的面积 ，求线段 的中点 的轨迹方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若 ，函数 在 的切线 也是曲线 的切线，求实数 的值，并写出直线 的方程；
（3）若 ，证明 .
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
22.(本小题满分10分)选修 ：几何证明选讲
如图， 是圆 的直径， 是半径 的中点， 是 延长线上一点，且 ，
直线 与圆 相交于点 （不与 重合）， 与圆 相切于点 ，连结
（1）求证： ；
（2）若 ,，试求 的大小．
23.(本小题满分10分)选修 ：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是
.
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值．
24.(本小题满分10分)选修 ：不等式选讲
已知 为正实数，若对任意 ，不等式 恒成立.
（1）求 的最小值；
（2）试判断点 与椭圆 的位置关系，并说明理由.
赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题
1～5.CBBDA； 6～10.CADAB； 11～12. DC.
二、填空题
13. ； 14. ； 15. ； 16. .
三、解答题
17.解：（1）设数列 的公差为 ，
由 得： ………………………………………………………………2分
由 ，所以 ………………………………………………………4分
故数列 的通项公式为： ………………………………6分
（2）由（1）可得 ………………………………………………………………8分
…………………………………9分
…………………12分
18.解：（1）
……………………………………………3分
………………………………………6分
（2）有“高产” 棵，“非高产” 棵，用分层抽样的方法，
每棵被抽中的概率是 ，所以选中的“高产”有 棵…………………7分
“非高产”有 棵…………………………………………………………………8分
用事件 表示被选中的“高产”，
则其对立事件 表示被选中的“非高产”，
共有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共10种情况……………………………………………………………9分
其中至少有一棵是“高产”的有 、 、 、 、 、 、
共7种………………………………………………………………………………10分
所以至少有一棵是“高产”的概率： …………………………………………………12分
19.证明：（1）连接 ，设它们相交于点 ，连接 ，则 为 中点……1分
因为 ， ，
所以 ，所以 ……………………………………………………3分
又易知 ， 平面 ………………………………………5分
所以 ………………………………………………………………………………6分
（2）由已知可知 是等边三角形，
所以 ……………………………7分
过点 作 ，垂足为点 ，
由（1）知 ，故 …………9分
在 中， ……………………………10分
四面体 的体积 ………………………12分
20.解：（1）连接 ，则 ，所以 ，解得 ………………1分
故点 的坐标为 ，代入椭圆方程 ，得 ………………2分
解得 ， ………………………………………………………………………4分
故椭圆 的方程为 ……………………………………………………………5分
（2）设 ， ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
由 ，得
所以 ， …………………………………………7分
而
原点 到直线 的距离为 …………………………………………………8分
所以 …………………………………9分
所以 ，即 ，即
设 ，则 ，① ②
由①，②消去 得 ………………………………………………………10分
当直线 的斜率不存在时，设点 ，则 ，
又 ，解得 ………………………………………………………11分
所以线段 的中点
因此 的轨迹方程为 ………………………………………………………12分
21.解：（1）当 时， ， ………………………………2分
当 时， ，当 时， ……………4分
故 在 上是增加的，在 上是减少的……………………5分
（2）因为 ，所以 ，又
故切线 的方程为 ，即 ……………………6分
由 变形得 ，它表示以点 为圆心，半径长为 的圆，
由条件得 ，解得 （负值已舍去）……………………7分
此时直线 的方程是 ……………………………………………………8分
（3）因为 ，故 在 上是增加的，在 上是减少的，
，所以 …………………………………9分
设 ，则 ，
故 在 上是增加的，在 上是减少的……………………………10分
故 ，
故 ………………………………………………………………11分
所以 对任意 恒成立…………………………………12分
22.证明：（1）因 与圆 相交于点 ，
由切割线定理 ， …………………………………2分
得 …………………………………………………………………3分
设半径 ，因 ，且 ，
则 ， ………………………………3分
所以 ………………………………………………………………4分
所以 …………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可知， ，且 ………………7分
故 ∽ ，所以 ………………………………………8分
根据圆周角定理得， ，则 ……………9分
…………………………………………………………………………10分
23.解：（1）由
得圆C的方程为 ……………………………………………4分
（2）将 代入圆的方程得 …………5分
化简得 ……………………………………………………………6分
设 两点对应的参数分别为 ,则 ………………………7分
所以 ……………………8分
所以 , , …………………………………10分
24.解：（1）因为 ， ，所以 ……………………1分
因为 ，所以 …………………………………………………………3分
，所以 ……………………5分
所以 的最小值为 …………………………………………………………………6分
（2）因为 ………………………………………………7分
所以 ……………………………………………………………………………8分
即 ，所以点 在椭圆 的外部……………………10分
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