2013焦作二模数学理科试题及答案
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河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试
数学理试题
一、选择题（60分）
1、设A＝{x｜2≤x≤6}，B＝{x｜a≤x≤a＋3}，若B A，则实数a的取值范围是
A、［2,3］ B、（3，＋ ） C、［2，＋ ） D、（1,3）
2、若复数Z＝ ，则z＝
A、－ － B、－ ＋ C、 － D、 ＋
3、 等于
A、1 B、e－1 C、e D、e＋1
4、在 的二项展开式中， 的系数为
A、－ B、－ C、 D、
5、已知向量 ，且 ，则 的值为
A、 B、 C、 D、
6、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM＝BN，给出以下结论：
①AA1⊥MN
②异面直线AB1，BC1所成的角为60°
③四面体B1－D1CA的体积为
④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1，其中正确的结论的个数为
A、4 B］3 C、2 D、1
7、设随机变量 B（2，P），随机变量 B（3，P），若P（X≥1）＝ ，则P（Y≥1）等于
A、 B、
C、 D、
8、一个侧面积为4 的圆柱，其主视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的主视图、俯视图的三棱柱的相应的左视图可以为
9、直线l被圆C：x2＋y2＝2所截得的弦长不小于2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是
A、（x－1）2＋y2＝1 B、x2＋y2＝1 C、y＝x2 D、x2－y2＝1
10、已知实数x，y满足 ，则2x＋y的最小值，最大值分别为
A、3,6 B、0,3 C、0,6 D、－ ，6
11、已知数列{ }满足： ，则数列{ }
A、有最大值 ，最小值 B、有最大值 ，最小值
C 、有最大值 ，最小值不存在 D、最大值不存在，最小值
12、定义在（0，＋ ）上的函数f（x）满足下列条件：（1） ，有f（2x）＝2f（x）成立，（2）当 时，f（x）＝2－x，设函数g（x）＝f（x）－k（x－1）恰有三个零点，则实数k的取值范围是
A、 B、
C、 D、
二、填空题（20分）
13、已知等差数列{ }的前n项和为 ，若S2＝10，S5＝55，则 ＝＿＿＿
14、若函数f（x）＝2x2－lnx在定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿
15、设A，B为双曲线 同一条近线上的两个不同的点，已
知向量 ， ＝3，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿
16、已知正四棱住ABCD－A1B1C1D1的底面边长AB＝6，侧棱长AA1＝2 ，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O上任意一点，有以下判断：
（1）PE的长的最大值是9； （2）三棱锥P－EBC体积的最大值是
（3）存在过点E的平面，截球O的截面面积是9 ；
（4）三棱锥P－AEC1体积的最大值是20
其中判断正确的序号是＿＿＿＿＿＿＿
三、解答题（70分）
17、（本小题满分12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2bsinC。
（1）求B的大小；
（2）求sinA＋cosC的取值范围。
18、（本小题满分12分）甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为P（P＞ ），且各局胜负相互独立，已知第二局比赛结果时比赛停止的概率为 。
（1）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总的得分S，T的程序框图，其中如果甲获胜，输入a＝1，b＝0；如果乙获胜，则输入a＝0，b＝1。请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？
（2）求P的值；
（3）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望。
19、（本小题满分12分）已知四棱锥P－ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：平面EDB⊥平面PBC；
（3）求二面角D－PB－C的正切值。
20、（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，长为 ＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动， ，记点P的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）经过点（0,1）作直线l与曲线E相交于A，B两点， ，当点M在曲线E上时，求四边菜OAMB的面积。
21、（本小题满分12分）已知函数 。
（1）若a＝－1，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若1 ，且 ，用t表示f（x）后得到f（x）的解析式高为g（t），求g（t）的单调区间；
（3）在（2）的解析式g（t）中的定义域扩展为（0，＋ ），若a＝2，设h（x）＝g（x＋1）－2x－1，证明：
选做题（任选一题，如果多做，则按所做第一题计分）
22、选修4－1，几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD＝2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F。
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：BD＝4EF
23、选修4－4，坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 。
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3， ），求｜PA｜＋｜PB｜。
24、选修4－5，不等式选讲（本小题满分10分）
设 。
（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围。
