2013东北三校联考二模理科数学试题及答案

2013东北三校联考二模理科数学试题及答案

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东北三校2013届高三第二次高考模拟考试
理科数学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则集合 为
A．  B．  C．  D．
2．“a = 1”是“复数 （ ，i为虚数单位）是纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．以下有关线性回归分析的说法不正确的是
A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心
B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使 最小的a,b的值
C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
D． 越接近1，表明回归的效果越好
4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为
A．  B．  C．  D．
5．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且a4与a7的等差中项为 ，
A．35 B．33 C．31 D．29
6．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是
A．  B．

C．  D．
7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A．  B．
C．  D．
8．已知圆M过定点 且圆心M在抛物线 上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长 等于
A．4 B．3
C．2 D．与点M位置有关的值
9．当a > 0时，函数 的图象大致是

10．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 和 ，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为
A．  B．  C．  D．
11．已知函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组 所确定的平面区域在 内的面积为
A．  B．  C．  D．
12．在底面半径为3，高为 的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数 ，则 __________。
14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。
15．平面上三个向量 、 、 ，满足 ， ， ， ，则 的最大值是__________。
16．已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，若函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且 ， ， 。
（1）求 的值；
（2）求ΔABC的面积。
18．（本小题满分12分）
某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。
两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）
 
（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；
（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；
（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。
19．（本小题满分12分）
已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE =  ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。
（1）求证：MN⊥EA；
（2）求四棱锥M – ADNP的体积。
20．（本小题满分12分）
    设椭圆C： 的两个焦点为F1、F2，点B1为其短轴的一个端点，满足 ， 。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M  做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B，l2与椭圆交于点C、D，求的最小值。
21．（本小题满分12分）
    已知函数 ， 。
（1）若对任意的实数a，函数 与 的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；
（2）若a > 0，对任意x > 0不等式 恒成立，求实数a的取值范围。
22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：集合证明选讲
如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。
（1）求证：CE2 = CD • CB；
（2）若AB = BC = 2，求CE和CD的长。
23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知点P ，曲线C的参数方程为 （φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 。
（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求 的值。
24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲
设函数 。
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在x使不等式 成立，求实数a的取值范围。
2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
BCCDC      BBABA     BC
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.         14.               15. 3                  16.  
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）  
  
（Ⅱ）  
 
18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ ，
由甲图知，甲组有 （人），∴乙组有20人．
又∵ ，
∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人
乙组有 （人）
∴
即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．
（Ⅱ）由乙图知，乙组在 之间有 （人）
在 之间有 （人）
∴ 的可能取值为0,1,2,3
 ，
 ，
 ，
 
∴ 的分布列为
  0 1 2 3
        

数学期望 ．              
（Ⅲ）参考答案：
甲组学生准确回忆音节数共有： 个
故甲组学生的平均保持率为
乙组学生准确回忆音节数共有：
  个
故乙组学生平均保持率为 ，
所以临睡前背单词记忆效果更好.  （只要叙述合理都给分）
19. 解：方法一：
（Ⅰ）取 中点 ，连接 ， 
      又 平面 ， 平面 ，
      又
      又 平面
      ，
      
（Ⅱ）过 作 于 ，连接
 平面 ，
又 平面 ，
又
  平面 
 ，又 ，
 平面 ，
 二面角 为二面角 的平面角
    在 中，
       
         二面角的余弦值为 
方法二：
（Ⅰ） 平面 平面 ，
 平面 平面 ，
过 作 平面 ，则
以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系

 
 
 ，
 
     （Ⅱ） ， ，设 为平面 的一个法向量
   为满足题意的一组解 
 ， ，设 为平面 的一个法向量
           ， 为满足题意的一组解，  
        二面角的余弦值为 
20. 解：（Ⅰ）不妨设    
 
所以椭圆方程为  
（Ⅱ）①当直线 与 轴重合时，
设 ，则 
②当直线 不与 轴重合时，设其方程为 ，设
由 得    
 
 
 
由 与 垂直知：
  
    
当且仅当 取到“=”.
综合①②,   
21. 解：(Ⅰ) 恒成立，
            恒成立即 .  
 方法一： 恒成立，则 
 而当 时， 
 则 ， ， 在 单调递增，
当 ， ，  在 单调递减，
则 ，符合题意.
即 恒成立，实数 的取值范围为 ；
方法二： ，
(1)当 时， ， ， ， 在 单调递减，
当 ， ， 在 单调递增，
则 ，不符题意；
  (2)当 时， ，
①若 ， ， ， ， 单调递减；当 ， ，  单调递增，则 ，矛盾，不符题意；
②若 ，
（Ⅰ）若 ， ； ；
       ， 在 单调递减， 在 单调递增， 在 单调递减， 不符合题意；
（Ⅱ）若 时， ， ， 在 单调递减， ，不符合题意.
（Ⅲ）若 ， ， ， ， ， ， ， ，  在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减， ，与已知矛盾不符题意.
（Ⅳ）若 ， ， ， ， 在 单调递增；
当 ， ，  在 单调递减，
则 ，符合题意；
综上，得 恒成立，实数 的取值范围为 
 (Ⅱ) 由(I)知，当 时，有 ， ；于是有  ， .
则当 时，有  
在上式中，用 代换 ，可得
 相乘得 

选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题记分.
22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
(Ⅰ)证明：连接BE.
∵BC为⊙O的切线   ∴∠ABC＝90°， ……2分
 
∵∠AEO＝∠CED     ∴∠CED＝∠CBE, ……4分
∵∠C＝∠C∴△CED∽△CBE         
∴   ∴CE ＝CD•CB……6分
(Ⅱ)∵OB＝1,BC＝2    ∴OC＝
∴CE＝OC－OE＝ －1                                           ……8分
由(Ⅰ)CE  ＝CD•CB    得( －1) ＝2CD
∴CD＝3－                                                    ……10分
23.（本题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
解：（1）直线 即  直线 的直角坐标方程为 ，点 在直线 上。
（2）直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线C的直角坐标方程为
将直线 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
有 ，设两根为 ，
 
24.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在 使不等式 成立，求 的取值范围.
解：（1）
当 时， 解得 不存在
当 时， 解得
当 时， 解得
综上不等式的解集为 
（2）
当 ， ，
 
 
   
当 时， ，
                                  
 
 
 
综上， 
另解：
画出 的图象，如下所示

若 有解，则