2013佛山二模文科数学试题及答案
点击下载：2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）文数试题及答案
2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测
数 学（文科） 2013.4
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
参考公式：棱锥的体积公式： ．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，集合 ，则 等于
A． B． C． D．
2．已知复数 的实部为 ，且 ，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
3．已知命题 ： ， ，那么 是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
4．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是
A．30 B．60
C．70 D．80
5．函数 ， ,则
A． 为偶函数，且在 上单调递减;
B． 为偶函数，且在 上单调递增;
C． 为奇函数，且在 上单调递增;
D． 为奇函数，且在 上单调递减.
6．设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7．已知幂函数 ，当 时，恒有 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．设 、 是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：
① 若 则 ②若 ， ，则
③ 若 ，则 ④若 ，则
其中真命题的序号是
A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③
9．直线 与不等式组 表示平面区域的公共点有
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
10．已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记作 ．设 是长为2的线段，点集 所表示图形的面积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题(11～13题)
11．已知向量 满足 , ,则向量 与 的夹角为 .
12．已知圆 经过点 和 ,且圆心 在直线 上,则圆 的方程为 .
13．将集合{ | 且 }中的元素按上小下大，
左小右大的原则排成如图的三角形数表，将数表中位于
第 行第 列的数记为 （ ）,则 = .
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线 与 的交点分别为 ，则线段 的垂直平分线的极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲）如图，圆 的直径 ，
直线 与圆O相切于点 ， 于D，
若 ，设 ，则 ______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系 中，以 为始边，角 的终边与单位圆 的交点 在第一象限，
已知 .
（1）若 ,求 的值.
（2）若 点横坐标为 ,求 .
17．（本题满分12分）
市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班，
（1）写出李生可能走的所有路线；（比如DDA表示走D路从甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到达乙）;
（2）假设从甲到乙方向的道路B和从丙到甲方向的
道路D道路拥堵，其它方向均通畅，但李生不知道
相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？
18．（本题满分14分）
如图，在四棱柱 中， 已知底面 是边长为 的正方形， 侧棱 垂直于底面 ，且 ．
（1）点 在侧棱 上，若 ，
求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积 ．
19．（本题满分14分）
已知椭圆 和抛物线 有公共焦点 , 的中心和 的顶点都在坐标原点，直线 过点 .
（1）写出抛物线 的标准方程；
（2）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，直线 与椭圆 有公共点，求椭圆 的长轴长的最小值.
20．（本题满分14分）
环保刻不容缓，或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张，且受工业污染严重，预计 年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设住房面积 ，前四年每年以 的增长率建设新住房，从第五年开始，每年都比上一年增加 .设第 )年新城区的住房总面积为 ，该地的住房总面积为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若每年拆除 ，比较 与 的大小.
21．（本题满分14分）
已知函数 ， ， 是常数.
（1）求 的单调区间；
（2）若 有极大值，求 的取值范围.
文科数学评分参考
一、填空题 BDBCACBDBD
二、填空题
11． 12． 13．
14． （或 ） 15．
三、解答题
16．⑴解法1、
由题可知： ， ， ……1分
， ……2分
，得 ……3分
∴ ， ……4分
解法2、
由题可知： ， ……1分
， ……2分
∵ ，∴ ……3分
， 得 ……4分
解法3、
设 ，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）
⑵解法1、
由⑴ ， 记 ，
∴ ， （每式1分） ……6分
∵ ，得 （列式计算各1分） ……8分
（列式计算各1分） ……10分
∴ （列式计算各1分） ……12分
解法2、
由题意得： 的直线方程为 ……6分
则 即 （列式计算各1分） ……8分
则点 到直线 的距离为 （列式计算各1分） ……10分
又 ，∴ （每式1分）…12分
解法3、
即 （每式1分） ……6分
即： ， ， ……7分
， ， ……9分
（模长、角的余弦各1分）
∴ ……10分
则 （列式计算各1分） ……12分
解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）
17．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2个1分，3-5个2分，5-7个3分，7-11个4分，） ……5分
共12种情况 ……6分
⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分
共4种情况， ……8分
所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 （文字说明1分）……12分
18．⑴解法1、
依题意， ， ，在 中， ……1分
同理可知， ， （每式1分） ……3分
所以 ， ……4分
则 ， ……5分
同理可证， ， ……6分
由于 ， 平面 ， 平面 ， ……7分
所以， 平面 ． ……8分
解法2、
由 （或 ）和 证明 平面 （证明任何一个线线垂直关系给5分，第二个线线垂直关系给1分）
⑵解法1、
如图1，易知三棱锥 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即 （文字说明1分）……11分
……13分
……14分
解法2、
依题意知，三棱锥 的各棱长分别是
， （每式1分）……10分
如图2，设 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，且 ，
于是 平面 ， ……12分
设 的中点为 ，连接 ，则 ，且 ，
则三角形 的面积为 ， ……13分
所以，三棱锥 的体积 ． ……14分
19．⑴由题意，抛物线 的焦点 ，则 ……2分
所以方程为： ． ……3分
⑵解法1、
设 ，则 中点为 ， ……4分
因为 两点关于直线 对称，所以 （每方程1分）……6分
即 ，解之得 ， ……7分
将其代入抛物线方程，得： ，所以 （列式计算各1分）……9分
联立 ，消去 ，得： ……11分
由 ，得 ， ……12分
注意到 ，即 ，所以 ，即 ， ……13分
因此，椭圆 长轴长的最小值为 . ……14分
解法2、
设 ，因为 两点关于直线 对称，则 ， ……5分
即 ，解之得 ……6分
即 ,根据对称性,不妨设点 在第四象限，且直线与抛物线交于 如图.则 ,于是直线 方程为 （讨论、斜率与方程各1分） ……9分
联立 ，消去 ，得： ……11分
由 ，得 ， ……12分
注意到 ，即 ，所以 ，即 ， ……13分
因此，椭圆 长轴长的最小值为 . ……14分
20．⑴设第 年新城区的住房建设面积为 ，则当 时， ；……1分
当 时， . ……2分
所以, 当 时， ……3分
当 时， （列式1分）……5分
故 ……6分
⑵ 时， ， ，显然有 ……7分
时， ， ，此时 . ……8分
时， ， （每式1分）……10分
. ……11分
所以, 时， ； 时， . 时，显然 ……13分
（对1-2种情况给1分，全对给2分）
故当 时， ；当 时， . ……14分
21．⑴ ……1分
设 ，其判别式 ……2分
①当 时， ， , 在定义域 上是增函数； ……3分
当 时，由 解得：
（每个根1分）……5分
②当 时， ， ；又 ， ，故 ，即 在定义域 上有两个零点
在区间 上， ， ， ， 为 上的增函数
在区间 上， ， ， ， 为 上的增函数
在区间 上， ， ， , 为 上的增函数. ……6分
③当 时， ，在区间 上， ， ， ；在区间 上， ， ， ， ……7分
④当 时，函数 的定义域是 ， ， 在 上有零点 ，在 上有零点 ；在区间 和 上， ， 在 和 上为增函数；在区间 和 上， ， 在 和 上位减函数. ……8分
综上: 当 时,函数 的递增区间是 ；当 时, 的递增区间是 和 ,递减区间是 ；当 时， 的递减区间是 ；递增区间是 ；当 时， 的递减区间 和 ,递增区间是 和 . ……9分
⑵当 时， 的定义域是 ，当 时， 的定义域是 ， ，令 ，则 （每个导数1分） ……11分
在区间 上， ， 是增函数且 ；
在区间 上， ， 是减函数且 ；
当 时， . ……12分
故当 时， ， 无极大值；
当 时， ，方程 在区间 和 上分别有一解 ，此时函数 在 处取得极大值； ……13分
当 时，方程 在区间 上有一解 ，此时函数 在 处取得极大值.
综上所述，若 有极大值，则 的取值范围是 . ……14分
