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山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测（一模）
数学（理科）试题
2013.3
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 等于
A. B. C. D.
【答案】B
，所以 ，选B.
2.复数 （i为虚数单位）的模是
A. B. C.5 D.8
【答案】A
，所以 ，选A.
3.如果椭机变量 ，则 等于
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
【答案】D
因为 ，所以 ，选D.
4.下列结论错误的是
A.命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ”
B.“ ”是“ ”的充分条件
C.命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ”
【答案】C
命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为“若方程 有实根，则 ”。若方程 有实根，则 ，解得 。所以 时，不一定有 ，所以C错误。
5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是
A.4 B.5
C.6 D.7
【答案】B
第一次 ；第二次 ；第三次 ；第四次 ；第五次 此时满足条件输出 ，选B.
6.当 时，函数 取得最小值，则函数 是
A.奇函数且图像关于点 对称
B.偶函数且图像关于点 对称
C.奇函数且图像关于直线 对称
D.偶函数且图像关于点 对称
【答案】C
当 时，函数 取得最小值，即 ，即 ，所以 ，所以 ，所以函数为奇函数且图像关于直线 对称，选C.
7.在 ，且 的面积为 ，则BC的长为
A. B.3 C. D.7
【答案】A
，所以 ，所以 ,，所以 ,选A.
8.已知 则向量 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
，所以 ，所以 ，所以 ，选B.
9.若 则下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
因为 ，所以 ，即 ，所以选C.
10.设函数 有三个零点 、x2、x3，且 则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
∵函数 ，
∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得 x=± ．
∵当 时， ；在 上， ；在 上， ．故函数在 ）上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数．故 是极大值， 是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且 得 x1＜﹣ ，﹣ ＜x2 ，x3＞ ．
根据f（0）=a＞0，且f（ ）=a﹣ ＜0，得 ＞x2＞0．
∴0＜x2＜1．选D.
11.直线 的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
直线的斜截式方程为 ，所以斜率为 ，即 ，所以 ，解得 ，即倾斜角的取值范围是 ，选B.
12.设奇函数 上是增函数，且 ，若函数， 对所有的 都成立，则当 时t的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
因为奇函数 上是增函数，且 ，所以最大值为 ，要使 对所有的 都成立，则 ，即 ，即 ，当 时，不等式成立。当 时，不等式的解为 。当 时，不等式的解为 。综上选C.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.
13.从集合 中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 ▲ .
【答案】
从集合 中随机选取3个不同的数有 种。则3个数能构成等差数列的有， 有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为 。
14.二项式 的展开式中，常数项等于 ▲ （用数字作答）.
【答案】1215
展开式的通项公式为 ，由 得 ，所以常数项为 。
15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且 ，则棱锥 的体积为 ▲ .
【答案】
球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上。所以对角线长为 ，所以棱锥的高为 ，所以棱锥的体积为 。
16.设双曲线 的离心率为2，且一个焦点与抛物线 的焦点相同，则此双曲线的方程为 ▲ .
【答案】
抛物线的焦点坐标为 ，所以双曲线的焦点在 轴上且 ，所以双曲线的方程为 ，即 ，所以 ，又 ，解得 ，所以 ，即 ，所以双曲线的方程为 。
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
设等比数列 的前n项和为 成等差数列.
（I）求数列 的通项公式；
（II）证明：对任意 成等差数列.
18.（本小题满分12分）
已知
（1）求A的值；
（II）设 、 的值.
19.（本小题满分12分）
如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED 平面ABCD，FB//ED，且AD=DE=2BF=2.
（I）求证： ；
（II）求二面角C—EF—D的大小；
（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG//平面CEF，并证明你的结论.
20.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数 依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数 的为一等品， 的为二等品， 的为三等品.
若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；
（I）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数 的关系式为 ，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望.
21.（本小题满分13分）
已知椭圆 ，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率.
（I）求椭圆C2的方程；
（II）设直线 与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为 ，点 在线段AB的垂直平分线上，且 ，求直线 的方程.
22.（本小题满分13分）
已知函数
（I）若 在区间 上单调递减，求实数a的取值范围；
（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式 对任意 恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.
