（Ⅰ）如果 =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果从甲、乙两组中各随机选取一名同学，这两名同学的植树总棵数为19的概率为 ，求 的值
19、(本小题满分13分）
已知函数 ，
当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
讨论函数的单调性.
20、(本小题满分13分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
求证：数列 为等比数列；
令 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 ， 恒成立，求 的最大值.
21、(本小题满分13分）
已知椭圆C： 的离心率为 ，且右顶点为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是过点A的两条互相垂直的直线， 与椭圆C的另一个交点分别是E、F，直线EF是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
数学（文科）参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C B D B C B A
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 56. 12. 50. 13. . 14. . 15. ①②④.
三、解答题：(本大题共6小题，共75分.)
16. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
………………………………3分
∴ . 由 ，
得
∴函数 的最小正周期为 ，单调减区间为 ……………6分
（Ⅱ）∵ ， ……………8分
∴ .
∴函数 的值域为 . ………………………………12分
17. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）.
取线段AD的中点G，连接FG、EG，由已知可得FG//PD,EG//DC
又∵
∴ 平面PCD…… …………………………6分
（Ⅱ）连接PG,∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD
∴PG⊥平面ABCD，∴PG为三棱锥P-ECD的高，
……………12分
18. (本小题满分12分)
解（1）当 =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，11
所以平均数为
…………………………2分
…………………………6分
（Ⅱ）从甲、乙两组中各随机选取一名同学共有25种情况，∵植树总棵数为19的概率为
∴植树总棵数为19的情况有5种 ………………………………9分
甲组中取9,9,11,11时，乙组分别取10,10,8,8符合条件
只有 时，恰好甲组去12，共有5中情况，∴ ………………12分
（类似方法可酌情给分）
19. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ） 时， .
， ，…………………………3分
∵切点为
∴切线方程为
即 ………………………………………6分
（Ⅱ）∵
① 时， ，函数 在定义域内单调递增.
② 时， ，函数 在定义域内单调递增. ……9分
③ 时，
时， ，函数 在定义域内单调递减.
时，由
解得 ，
时 ， 时
函数的递增区间为 ，递减区间为
综上： 时，函数 在定义域内单调递增； 时，函数 在定义域内单调递减； 时，函数的递增区间为 ，递减区间为 …………………………………13分
20. (本小题满分13分)
解：
数列,又
∴数列 为等比数列 …………………………………………………5分
由 知 ， ，
∴ …………………………………………………9分
∵ ，∴随着 的增大， 递增
∵ ，对于任意 ， 恒成立，
∴ ………………………………………13分
21. (本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率 ，
因为,得 ．
所以椭圆的方程为 ． ………………5分
（Ⅱ） 设 当 存在时，设直线EF的方程为
则联立直线与椭圆方程得
∴ ， ……………………………………8分
∵ ,∴
即
整理得 解得 或 …………………………10分
时，直线EF的方程为 ，直线EF恒过点
时，直线EF的方程为 ，直线EF恒过点 不满足条件
当 不存在时，∵ ,直线 的斜率分别为
此时可以求得 ，直线EF也经过点 ，
∴直线EF恒过定点 ………………………………13分
