2013惠州四模四调数学理试题及答案
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惠州市2013届高三第一次模拟考试
数学试题(理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数 (为虚数单位），则复数 在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 则抛物线的方程是( )
A. B. C. D.
4.如图是某简单组合体的三视图，
则该组合体的体积为 （ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.已知函数 的零点为 ， 则 所在区间为（ ）
A. B. C. D.
8．设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．在等差数列 中，有 ，则此数列的前13项之和为 .
10． 展开式中，常数项是 .
11．执行如图的程序框图，那么输出 的值是 .
12.已知集合 ={直线}， ={平面}， ．
若 ，给出下列四个命题：
① ② ③
④ 其中所有正确命题的序号是 .
13．设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为 ，曲线 ： 上的点到直线的距离为 ，则 的最大值为 .
15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 的直径 , 是 的延长线上一点,过点 作圆 的切线,切点为 ,连接 ,若 ,则 .
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分） 已知 ，（ ，其中 ）的周期为 ，且图像上一个最低点为
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求 的值域．
17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
科目甲 科目乙 总计
第一小组 1 5 6
第二小组 2 4 6
总计 3 9 12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.
（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设 为选出的4个人中选科目甲的人数，求 的分布列和数学期望．
．(本小题满分 分)如图, 中,侧棱与底面垂直, , ,点 分别为 和 的中点.
（1）证明: ;
（2）求二面角 的正弦值.
19．（本小题满分14分）
已知中心在原点 ，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点（ ， ）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点 的直线与该椭圆交于 、 两点，满足直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，求 面积的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数 （ 为常数， ），且数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
(1) 若 ，当 时，求数列 的前 项和 ；
（2）设 ，如果 中的每一项恒小于它后面的项，求 的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数 在 处的切线方程为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若关于 的方程 恰有两个不同的实根，求实数 的值；
(3)数列 满足 ， ，
求 的整数部分.
惠州市2013届高三第一次模拟考试
数学（理科）答案
一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C D D A
二、填空题；本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
9. 52 10. 60 12. ④ 13．-4 14． 15.
1.【解析】因为 = ； ， 故选 .
2.【解析】因为 ,所以 对应的点在复平面的第二象限. 故选 ．
3. 【解析】抛物线的准线方程为 ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 则其准线方程为 ∴ 解得 ∴抛物线的标准方程为y .故选 .
4.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底面半径为 ，椎体底面边长为 ，高为 ． 故选 ．
5.【解析】向量 ， ， ，因为 ∴ ， 故选 ．
6.【解析】因为 服从正态分布 ， ， 故选 .
7.【解析】因为 .故选 .
8.【解析】设 ，倾斜角为 ， ， , ， ， ，故选 .
9．【解析】等差数列 中，有 ， ，故此数列的前13项之和为 .
10．【解析】 ，故 时， .
11.【解析】由框图可知： ，
周期为 , ，故输出 的值是 .
12．【解析】由题意知： 可以是直线，也可以是平面，
当 表示平面时，①②③都不对，故选④正确.
13.【解析】做出不等式对应的可行域如图，
由 得 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，而此时 最小为 .
14.【解析】直线的直角坐标方程为 ，曲线C的方程为 ，为圆； 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为
15.【解析】连接 ，设 ，则 ，三角形 中，
，所以 ，所以 ，而 ，故
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．
16. （本小题满分12分）
解：（1）由 的周期为 ，知 ，则有 ；……….1分
所以
因为函数图像有一个最低点 ， ，
所以 且 ， ………………………… 3分
则有 …………………………… 4分
解得 ， 因为 ，所以 ……….6分
所以 …………………………… 7分
（2）当 时， ， …………………………… 8分
则有 ，所以 ……11分
即 的值域为 。 ……………………… 12分
17. （本小题满分12分）
解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件 ，
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件 .由于事 件 、 相互独立，
且 , .………………………………4分
所以选出的4人均选科目乙的概率为
…………………………… 6分
（2）设 可能的取值为0,1,2,3.得
, , ，
… 9分
的分布列为
∴ 的数学期望 …………12分
18. (本小题满分14分)
（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
解 :
(1)证法一: 连接 …………1分
由题意知,点 分别为 和 的中点,
. …………3分
又 平面 , 平面 , …………5分
平面 . …………6分
证法二:取 中点 ,连 ,而 分别为 与 的中点,
,…………2分
, , ,
同理可证 …………4分
又 平面 //平面 . …………5分
平面 ， 平面 . …………6分
证法三(向量法): 以点 为坐标原点,分别以直线
为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示.于是
, ,
向量 是平面 的一个法向量 …………2分
， …………4分
又 …………5分
平面 . ………6分
(2)解法一: 以点 为坐标原点,分别以直线
为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示.
于是 , , …………8分
由(1)知 是平面 的一个法向量, . …………10分
设平面 的法向量为 , , ,
,
…………12分
设向量 和向量 的夹角为 ,则
…………13分
二面角 的的正弦值为 …………14分
解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连 交于点 ,连 ,显然, ,都在同一平面 上. …………7分
易证 , ,
平面 , 平面 ,
,又
平面 .
取 中点 ,连 ,
分别是 的中点
,
平面 , …………9分
且 为垂足,即 平面 ,过点 作 于 ,
过 作 交 于 ,连 ,
则 即是所求二面角 的补角. …………11分
在 中, ,
, ,
在 中， ,
又
在 中， ， …………12分
. …………13分
所求二面角 的正弦值为 ………14分
19．（本小题满分14分)
解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，……………1分
则 ，……………3分 , 解的 ，……………5分
所以，椭圆方程为 ． ……………6分
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为 ， ，……………7分
由 消去 得 ，……………8分
则 ，
且 ， ．……………9分
故 ．
因为直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，
所以， ，即 ，……………10分
又 ，所以 ，即 ．……………11分
由于直线 ， 的斜率存在，且△＞0，得 且 ．
设 为点 到直线的距离，则 ，…………12分
所以 的取值范围为 ． ……………… 14分
20. (本小题满分1４分)
(1) 证：由题意 ，即 ， ……1分
. ……2分
，
当 时， . …………3分
∴ ， ①
② ……4分
①－②，得
……6分
∴ ……7分
(2) 解：由(1)知， ，要使 对一切 成立，
即 对一切 成立. ……8分
，对一切 恒成立，
只需 ，……10分
单调递增，∴当 时， . ……12分
∴ ，且 ， ∴ . ……13分
综上所述，存在实数 满足条件. ……14分
21．（本小题满分14分）
解: (1) ，……………1分
依题设，有 ，即 ，……………2分
解得 ……………3分
． ……………4分
(2)方程 ，即 ，得 ， ………5分
记 ，
则 . ……6分
令 ，得 ………7分
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
∴当 时，F(x)取极小值 ；当 时，F(x)取极大值 …………8分
作出直线 和函数 的大致图象，可知当 或 时，
它们有两个不同的交点，因此方程 恰有两个不同的实根， ………9分
(3) ,得 ，又 。
，
． …………………10分
由 ，得 ，………11分
，即 ………12分
又 ………13分
即 ，故 的整数部分为． …………l4分
