18. 证明：（1） 分别是 的中点.
是 的中位线， ---------------------------------2分
由已知可知 -------------------------3分
----------------------------4分
----------------------------------5 分
----------------------------------------------------6分
（2）以 所在直线为x轴，y轴，z轴，建系
由题设， ，------------------------------7分
---------------------------------8分
设平面 的法向量为
可得 ，-----------------------------10分
平面 的法向量为
设二面角 为 ，
--------------------------------------------------------12分
19. 解：（1）由 ----① 得 ----②，
① ②得 ， …………………………………………2分
； ………………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………6分
（2）因为 ………………………-………………………8分
所以 ………………………………………………………9分
所以 ………………………………………………………10分
………………………………………………………11分
所以 ………………………………………………………12分
20.解：（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格
记A={前四项均合格}
B={前四项中仅有一项不合格}
则P(A)= …………………………………………………………2分
P(B)= ………………………………………………4分
又A、B互斥，故所求概率为
P=P(A)+P(B)= …………………………………………………………………………………5分
（2）该生参加考试的项数 可以是2，3，4，5.
，
， …………………………………9分
2 3 4 5
……………………………………10分
…………………………………………12分
21．解: (1) .令 ，得 ；……………………………………………………1分
列表如下
- 0 +
极小值
的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .………………………………………………4分
极小值= ……………………………………………………5分
(2) 设 ，由题意，对任意的 ，当 时恒有 ，即 在 上是单调增函数.………………………………………………………………………………………………7分
…………………………………………8分
,
令
……………………………………………………………………………… …………10分
若 ，当 时， ， 为 上的单调递增函数，
,不等式成立. …………………………………………………………11分
若 ，当 时， ， 为 上的单调递减函数，
， ，与 , 矛盾…………………………………………12分
所以，a的取值范围为 .……………………………………………………………………………………13分
22. 解：(1)由题意 ， ，又 ，……………………………………………2分
解得 ,椭圆的标准方程为 .……………………………………………………………4分
(2)设直线AB的方程为 ，设
联立 ，得
----------①
……………………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
= …………………………………………………8分
…………………………………………………………9分
(i)
当k=0(此时 满足①式),即直线AB平行于x轴时， 的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时 ，所以 的最大值为2. …………………………………11分
(ii)设原点到直线AB的距离为d，则
.
即,四边形ABCD的面积为定值…………………………………………………………13分
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