2013年安徽省“江南十校”髙三联考
数学（理科）
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本试卷分第I卷（选择题50分）和第II卷（非选择题100分）两部分.全卷满分150 分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答通前，务必在试趙卷、答題卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.选择超每小趙选出答案后，用2B铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。
3.非选择超必须用O.5毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答，要求字体工整、笔迹清 晰。不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答，超出答规区城书写的答案无效，在试M卷、草稿纸上答趙无效。
参考公式：
如果事件A与B互斥，那么P(A +B) = P(A)+P(B);
如果事件A与B相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B);
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
(1) 若a+ bi= (i是虚数单位，a，b R),则ab=
(A) -2 (B) -i (C) i (D) 2
(2) 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如右图.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为
(A) 8 (B) 5 (C) 4 (D) 2
(3)已知正项等差数列{an}满足： 等比数列{bn}满足： ， 则log2(a2+b2)=
(A) -1或 2 (B) 0或 2 (C) 2 (D) 1
(4) 己知正四棱柱ABCd-A1B1C1D1底面是边长为1的正方形，若平开始 面ABCD内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1,则异面直线AA1 , BC1所成的角为
(A) (B) (C) (D)
(5) 右图是寻找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0表示自然 数S被10除所得的余数，“S \ 10”表示自然数S被10除所 得的商.则根据上述程序框图，输出的“徽数S”为
(A) 18 (B) 16 (C) 14 (D) 12
(6) 定义在R上的函数f(x)、g(x)满足：对任意的实数X都有f(x)=f(|x|)， g(-x)-g(x)=0.当:C>0时， ， 则当x<0时，有
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知直线/过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴 的距离分别为m,n则m+ n+ 2的最小值为
(A) (B) (C) 4 (D) 6
(8) 若 ，且(a1+a3+...+a9)2-(a0+a2+...+a8=39,则实数m的值为
(A) 1或-3 (B) -1或3 (C) 1 (D) -3
(9) 如图，ΔABC中， = 600, 的平分线交BC 于D,若AB = 4,且 )则AD的长为
(A) (B) (C) (D)
(10) 已知函数， ， ，若 ,且当 时， 恒成立，则的最大值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2013年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）
第II卷（非选择題 共100分）
二、填空题
(11) 在极坐标系中，直线 与圆 的位置关系是______
(12) 设动点P(x,y)在区域Ω: 上（含边界)，过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段Ab，则以 AB为直径的圆的面积的最大值为______.
(13) 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_______.
(14) 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1〜101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100 ,98，…,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______.
(15) 已知Δ的内角A、B, C成等差数列，且A,B、C所对的边分别为a、b、c, 则下列命题中正确的有______(把所有正确的命题序号都填上).
①B=
②若a,b、c成等比数列，则ΔABC为等边三角形；
③若a= 2c,则ΔABC为锐角三角形；
④若 ，则3A = C;
⑤若tanA tanC + >0,则ΔABC为钝角三角形；
三、解答题：本大颶共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(16) (本小题满分12分）将函数:y= sin:C的图像向右平移 个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数/(X)的图像，若
(I)将函数g(x)化成. （其中 ）的形式；
(II)若函数g(x)在区间 上的最大值为2,试求θ0的最小值.
(17) (本小題满分12分）某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了m位校友(m>8且 ),其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机 从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合
(I )若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ，求n的最大值；
(II)当n =12时，设选出的2位校友中女校友人数为 ，求 的分布列和
(18) (本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD中， ，AD = AB = 2， BC = 3，E，F分别是AD,BC上的两点，且AE =BF＝1，G为AB中点,将四边形ABFE五沿EF折起到(如图2)所示的位置，使得EG丄GC，连接 AD、BC、AC得(图2)所示六面体.
(I )求证：EG丄平面CFG;
(II)求二面角A —CD-E的余弦值.
(19) (本小超满分13分）已知函数 ，其中a为常数.
(I )当函数f(x)图象在点 处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在 上的最小值；
(II)若函数f(x)在区间(0， )上既有极大值又有极小值，求a的取值范围；
(III)在（I)的条件下，过点P(1，-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程.
(20) (本小《满分13分）己知数列{an}满足：a1=1,且 成等差数列. 又正项数列{bn}满足b1=e,且 是bn与bn+1的等比中项.
(1)求证：{2n-1an}为等差数列，并求出数列{an}的通项
(II)求证： 都有 .
(21) (本小题满分13分）已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点，过椭圆E的右顶点及任意作直线l,设直线l交抛物线:y2=2x于 M、N两点,且OM丄ON.
(I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；
(II)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点0的对称点为A、关于x轴的对 称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E 的另一个交点为B,试判断直线PA、PB是否相互垂直？并证明你的结论.
2013年安徽省“江南十校”高三联考
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（1）A． （2）D． （3）C． （4）B. （5）D．
（6）A． （7）C． （8）A． （9）B. （10）D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）相交． （12） ． （13） ． （14） ． （15）①②④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
（16）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可得 …………………………………………………2分
……………………………………………………3分
………………………………………………………………6分
（Ⅱ）方法1： ， ………………………8分
要使函数 在 上的最大值为2，当且仅当 ，
解得 ………………………………………………………………………11分
故 的最小值为 …………………………………………………………………12分
方法2：设 ，解得
得函数 的增区间为 ………………………………8分
取 得 的一个增区间 ，此时 的从 增加到 ………10分
由题可得 的最小值为 …………………………………………………………12分
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率 ………3分
则 …………………………………………………………………4分
化简得 ，解得 ，故 的最大值为16 …………… 6分
（Ⅱ）由题意得， 的可能取值为 ， ， …………………………………………7分
则
0 1 2
………………………………………………………10分
…………………………………………………12分
（18）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ） 分别是 上的两点，
四边形 为矩形
折叠后 ，即 平面
连接
由已知得
平面 …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面
………………………………………7分
方法一：如图建系 则A（1,0,2）C（0,2,0）D（0,1,2）
设 = 为平面ACD的法向量，
得 ．则令 得 …………………9分
又 为平面CDEF的法向量，
设二面角 为 ，则 ，即 …12分
方法二：延长 与 的延长线交于 点，过 作 垂足为 点，
连结 、 ，则 为二面角 的平面角，
设二面角 为 ，
由 =1，得 =2，则 = ，
即 ……………12分
（19）（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由题可知 ，解得 ………1分
故 ， ，由 得 ………2分
于是可得下表：
2 3
- 0 +
………………………………………………………3分
于是可得： ……………………………………………………4分
解（Ⅱ） ………5分
由题可得方程 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 ，并令
则 （也可以 ） ………………………………7分
解得 ………8分
解（Ⅲ）由（Ⅰ） ，故 ， …………9分
设切点为T ，由于点P在函数 的图像上，
（1）当切点T不与点 重合，即当 时．
由于切线过点 ，则
所以 ，
化简得 ，即 ，解得 （舍去）……12分
（2）当切点T与点 重合，即 时．
则切线的斜率 ，于是切线方程为
综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为 ……………13分
（注：若没有分“点T是否与点P重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分）
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）证明：由题可知
则 ………………………………………………………………2分
故数列 是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分
………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由 可知，只需证： ………………7分
证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，则左边 右边；
（2）当 时，由题可知 和 ，
则 ……………………………………………………………10分
则 …………………………………11分
综上所述，当 时，原不等式成立 ………………………………………………13分
（21）（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）（1）由题可知 ，故双曲线的焦点为
……………………………2分
（2）设点M 、N ，
设直线 ： ，代入 并整理得
，
所以 ……………………………………3分
解得 ……………………………………………………………………………5分
由（1）得 ，所以椭圆E的方程为 …………………………6分
（Ⅱ）判断结果： 恒成立.................7分
证明：设P ，则A ，D ， …………8分
将直线AD的方程 代入椭圆方程并整理得
，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分
由题可知此方程必有一根为 ．于是解得 ，
所以 ………………………11分
所以 ………………………………12分
故 ，即 ………………………………………13分
解法2：判断结果： 恒成立 ………………………………………………7分
证明：过点P作直线AP的垂线，得与椭圆的另一个交点为 ，所以，要证 ，只要证A、D、 三点共线．
设P ，则A ， D ， ..................8分
将直线 的方程 代入椭圆方程并整理得
............ ...... ................10分
由题可知此方程的一根为 ，解得 ，
所以 …………………………11分
则 …………12分
又 ，所以 ，故 三点共线．
∴ ……………………………………………………………………………13分
解法3：判断结果： 恒成立................7分
证明：设 ，则 ， ，两式相减得 ，故 ……………………10分
又 ，代入上式可得 …12分
所以 ，即 ………………………………………13分
