海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 （文科）
参考答案及评分标准 2013．5
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D C B D
9．
10．乙 11. 或
12．
13．
14．
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
注：11题少写一个，扣两分，错写不给分
13题开闭区间都对
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）设 的公差为
因为 ， ……………………2分
所以 ……………………4分
所以
所以 ……………………6分
（II）因为
当 时，
所以 ， ……………………9分
又 时，
所以 ……………………10分
所以
所以 ，即
所以 或 ，
所以 ， ……………………13分
16. 解：（I）因为 ，所以
在 中， ，
根据正弦定理有 ……………………4分
所以 ……………………6分
（II）所以 ……………………7分
又在 中，
， ……………………9分
所以 ……………………12分
所以 ……………………13分
同理，根据根据正弦定理有
而 ……………………8分
所以 ……………………10分
又 ， ……………………11分
所以 ……………………13分
17.解：（I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上
所以 平面 ，所以 …………………2分
因为 ，
所以 是 中点， …………………3分
所以 …………………4分
同理
又
所以平面 平面 …………………6分
（II）因为 ，
所以 …………………7分
又 平面 ， 平面
所以 …………………8分
又
所以 平面 …………………10分
(III)存在，事实上记点 为 即可 …………………11分
因为 平面 ， 平面
所以
又 为 中点，所以 …………………12分
同理，在直角三角形 中， ， …………………13分
所以点 到四个点 的距离相等 …………………14分
18.解：（I）当因为 , …………………2分
若函数 在点 处的切线与函数 在点
处的切线平行，
所以 ，解得
此时 在点 处的切线为
在点 处的切线为
所以 …………………4分
（II）若 ，都有
记 ，
只要 在 上的最小值大于等于0
…………………6分
则 随 的变化情况如下表：
0
极大值
…………………8分
当 时，函数 在 上单调递减， 为最小值
所以 ，得
所以 …………………10分
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 ，
为最小值，所以 ，得
所以 ………………12分
综上， ………………13分
19.解：(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 ………………4分
(II)设 则
当直线 的斜率为 时， 的垂直平分线就是 轴，
轴与直线 的交点为 ,
又因为 ，所以 ，
所以 是等边三角形,所以直线 的方程为 ………………6分
当直线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为
所以 ，化简得
所以 ，则 ………………8分
设 的垂直平分线为 ，它与直线 的交点记为
所以 ，解得 ,
则 ………………10分
因为 为等边三角形， 所以应有
代入得到 ，解得 （舍）， ……………13分
此时直线 的方程为
综上，直线 的方程为 或 ………………14分
20.解：（I）
法1：
法2：
法3：
（写出一种即可） …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果操作第三列，则
则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
,解得 . …………………6分
② 如果操作第一行
则每一列之和分别为 ， ， ，
解得 …………………9分
综上 …………………10分
(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得
数阵中 个数之和增加，且增加的幅度大于等于 ，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中
个数之和必然小于等于 ，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分
