2013年高中毕业年级第三次质量预测
文科数学试题卷
本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小齒5分，共60分,在每小題给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={(x，y) |x+y-1=0,x,y R},B={(x,y) | x2+y2=1，x,y R }，则 集合A B的元素个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知x，y R，i为虚数单位，若x-1+yi= ，则x+y的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 下列命题中的假命题是
A B
C D
4. 设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为 ，且 是偶函数， 则曲线：y=f(x)在原点处的切线方程为
A. Y=3X B. Y=－3X C. y=－3x+1 D. Y=3X—1
5. 已知实数:x,y取值如下表：
从所得的散点图分析可知: y与x线性相关，且 ==0. 95x+a，则a的值是
A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 80
6. 已知直线l丄平面a，直线m 平面β给出下列命题：
①a//β=>l丄m;②a丄β=>l//m ③l//m=>a丄β；④l丄m=>a// β
其中正确命题的序号是
A.①②③ B.②③④
C.①③ D.②④
7. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出 相应的y值,若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的 x值有
A. 1个 B. 2个
C 3个 D. 4个
8. 已知z=3x+y，x，y满足 ，且z的最大值是最小值的3倍，则m的值是
A. B. C . D.
9. 抛物线y2= 8x的准线与双曲线 的两条渐近线围成的三角形的面积为
A. B. C. D.
10函数 且 ，在区间 上单调递增，且函数值 从－2增大到2，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为
A. 1 B. C. D.
11.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴 长为2a，焦距为2c，当静止放在点A的小球(半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹 后再回到点A,则小球经过的路径是
A. 4a B.2(a-c) C. 2(a+c) D.以上答案都有可能
12. 在ΔABC中，a，b，c 分别是角 A ,B,C 的对边，A= ，b=2，且 1 + 2cos(B + C) =0， 则ΔABC的BC边上的高等于
A. B. C. D.
第II卷
本卷包括必考題和选考題两部分.第13題〜第21題为必考題，第22題〜24題为选考 題.考生根据要求作答.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.
13.如图，在正方形内有一扇形(见阴影部分），扇形对应的圆心是正 方形的一顶点，半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆，它 落在扇形外正方形内的概率为______.(用分数表示）
14.已知数列{an}的通项公式an=2013•sin ，则a1+a2 +…+a2013=_____.
15.已已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h，且它的8个顶点都在同一个 球面上，这个球面的表面积为100 ，则h= ____..
16. 已知函数：Y=F(X)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线Y=X对称，则F(3)=____
三.解答題:本大題共6个小題，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.>
17. (本小题满分12分）
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2,，a3, a4+1成等比数列.
(I)求数列{an}的通项公式；
(II)设bn=an+ ，求数列{bn}的前n项和Sn
18. (本小题满分12分）
2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定:居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下：
(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
(II)在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米）的概率.
19. (本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形,ABCD为直 角梯形，且 = 90°，平面PDCE丄平面ABCD，AB=AD= CD=1,PD=
(I)若M为PA的中点，求证:AC//平面MDE;
(II)求原几何体被平面PBD所分成的左右两部分的体积比
20. (本小题满分12分）
已知椭圆C: 的离心率 ，短轴右端点为A，P(1，0)为线段QA的中点.
(I)求椭圆C的方程；
(II)过点p任作一条直线与椭圆c相交于两点M，N，试问在x轴上是否存在定点Q，使得 = ,若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.
21.(本小题满分12分）
已知函数f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(a R),令
(I)当a=0时，求 的极值；
(II)当a<－2时，求 的单调区间；
(III )当－3<a< －2 时，若对 ，使得 恒成立，求实数m的取值范围.
选做題(本小題满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一題作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）
22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲
如图，AB是 0的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是 O的割线，已知AC=AB.
(1)求证：FG//AC;
(II)若CG=1，CD=4，求 的值.
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是 =2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).
(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
(II)设曲线C经过伸缩变换 得到曲线 设曲线 上任一点为M(x,y)，求 的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a).
(I)当a = 4时,求函数f(x)的定义域；
(II)若对任意的x R，都有f(x) 2成立，求实数a的取值范围.
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数学（文科） 参考答案
一、选择题
CBDBB CCDAA DC
二、填空题
13． 14. 2013 15. 16. -2
三、解答题
17．解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，由 和 成等比数列，得
， ………………………………2分
解得 ，或 ，
当 时， ，与 成等比数列矛盾，舍去．
. ………………………………4分
即数列 的通项公式为 ………………6分
（Ⅱ） ……………………………… 8分
………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，
第一组抽取 天；第二组抽取 天；
第三组抽取 天；第四组抽取 天. ……………………4分
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为 ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为 ．所以6天任取2天的情况有：
共15种． ……………………8分
记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：
共8种． ……………………10分
所求事件A的概率 ……………………12分
19.（Ⅰ）证明：连结 ,交 于 ,连结 ，
在 中， 分别为两腰 的中点,∴ ………………3分
因为
所以 平面 . ………………6分
（Ⅱ）由四边形 为矩形，知
又平面 平面 ，
三棱锥 的体积为
. …………8分
由已知 又平面 平面 ，
四棱锥的体积为
.………10分
所以原几何体被平面 所分成的两部分的体积比 . ……… ………………12分
20.解：(Ⅰ)由已知， ，又 ，
即 ，解得 ，
所以椭圆方程为
. …………………4分
(Ⅱ)存在.证明如下:
假设存在点 满足题设条件.
当 轴时，由椭圆的对称性可知恒有 ，即 ； …………6分
当 与x轴不垂直时，设 所在直线的方程为 ，代入椭圆方程化简得：
，
设 ，则
.
， ………………………9分
∵
，
若 ， 则 ， ……………………………………11分
即 ， 整理得 ，
∵ ，∴ .∴ .
综上,在 轴上存在定点 ，使得 . ………………………12分
21.解: (Ⅰ) 其定义域为 .…………1分
当 时， , . ……………………2分
令
当 时, 当 时,
所以 的单调递减区间为 单调递增区间为
所以当 时, 有极小值 无极大值. ……………………4分
(Ⅱ)
…………5分
当 时， .令 ,得 ,或 .
令 ,得 .
当 时， 的单调递减区间为 单调递增区间为 …………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 时， 在 上单调递减,
所以
所以
因为对 ， 恒成立，
所以 , ……………………………………10分
整理得
又 ,所以
又 ，得 所以
故实数 的取值范围是 ……………………………………12分
22．解：(Ⅰ)因为 为切线， 为割线，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以 ，又因为 ，
所以 ∽ ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ． ……………………5分
(Ⅱ)由题意可得： 四点共圆，
.
∽ .
.
又 ， =4. ………………………………10分
23．解：（Ⅰ）直线 的直角坐标方程 ………………………………2分
曲线 的直角坐标方程 . ………………………………4分
（Ⅱ）曲线 经过伸缩变换 得到曲线 的方程为 ，
则点 参数方程为 ，代入 得，
= ,
的取值范围为 . ………………………………10分
24.解：（Ⅰ）由题意得 ，
.
， ,
.
,
，
.
.
综上所述,函数 的定义域为 . ………………………………5分
（Ⅱ）由题意得 恒成立，
即 ， 恒成立，
令
显然 时， 取得最小值 ， . ………………………………10分
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