点击下载：河北冀州中学2014届高三上学期期末考试 数学理
试卷类型：A 河北冀州中学
2013-2014学年上学期期末考试
高三年级数学试题（理科）
考试时间 120分钟 满分150分 命题人：戴洪涛
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设不等式 的解集为 ,函数 的定义域为N，则 为（ ）
A． [0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（-1，0]
2．如果复数 ，则（ ）
|z|=2 z的实部为1 z的虚部为﹣1 z的共轭复数为1+i
3.已知等比数列 的公比 ,且 ， , 成等差数列,则 的前8项和( )
A．127 B．255 C．511 D．1023
4.设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知菱形ABCD的边长为4， ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标平面上， ，且 与 在直线 上的射影长度相等，直线 的倾斜角为锐角，则 的斜率为 ( )
A． B． C． D．
7.已知点 在圆 上，则函数 的最小正周期和最小值分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.设函数 的图像关于直线 对称，它的周期是 ，则（ ）
A． 的图象过点 B． 在 上是减函数[
C． 的一个对称中心是 D． 的最大值是A
9．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2． 则棱锥S—ABC的体积为 ( )
A． B． C． D．
10.函数 与 的图像所有交点的横坐标之和为
A. B. C. D.
11．如图，A，F分别是双曲线 的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是( )
A． B． C． D．
12.在三棱锥 中， 垂直于底面 ， 于 ， 于 ，若 ， ，则当 的面积最大时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。
13.设 ，则二项式 的展开式中含有 的项的系数为 ______
14.设x，y∈R，若不等式组 所表示的平面区域是一个锐角三角形，则 的取值范围是 ______ ．
15.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 ___ 个．
16.数列 满足 ，设
则 等于____________
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题满分12分）
设 的三内角 的对边长分别为 ,已知 成等比数列,且 . (Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)设向量 , ,当 取最小值时,判断 的形状.
18．（本题满分12分）
已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△ ，使得平面 ⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证： 平面ABD；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值
19．（本题满分12分）
2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):
月收入(百元) 赞成人数
[15,25) 8
[25,35) 7
[35,45) 10
[45,55) 6
[55,65) 2
[65,75) 1
(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;
(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.（注明：本图的纵坐标标注的依次是 ， ， ， ）
20.(本题满分12分)
已知定点 , ,动点 ,且满足 成等差数列.
(Ⅰ) 求点 的轨迹 的方程；
(Ⅱ) 若曲线 的方程为 ( ),过点 的
直线 与曲线 相切,求直线 被曲线 截得的线段长的最小值.
21. (本题满分12分)
已知函数 (其中 ).
(Ⅰ) 若 为 的极值点,求 的值；
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 ；
(Ⅲ) 若函数 在区间 上单调递增,求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．
22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，
△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．
（1）求证：BE＝2AD；
（2）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．
23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线 （t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标.
24．（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知 ，设关于x的不等式 + 的解集为A.
（Ⅰ）若 ,求 ；（Ⅱ）若 , 求 的取值范围。
河北冀州中学2013-2014学年上学期期末考试
高三年级数学试题（理科）答案
A卷1-5 A C B C D 6-10 C B C C B 11-12 D D
B卷1-5 A C B B D 6-10 C B A B B 11-12 D A
13． 14． 15． 120． 16.
17.解:(Ⅰ)因为 成等比数列,则 .由正弦定理得 .
又 ,所以 .因为 ,则 .
因为 ,所以 或 . …………4分
又 ,则 或 ,即 不是 的最大边,故 . …………6分
(Ⅱ)因为 ,
所以 .
所以当 时, 取得最小值. …………9分
此时 ,于是 . 又 ,从而 为锐角三角形. ……………………………12分
18、证明：证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即 ，
． ………………2分
∵平面 ⊥平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，
∴ 平面 ． ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面ABD，且 ，
如图，以D为原点，
建立空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ．
∵E是线段AD的中点，
∴ ， ．
在平面 中， ， ，
设平面 法向量为 ，
∴ ，即 ，
令 ，得 ，故 ．………………（6分）
设直线 与平面 所成角为 ，则
．
∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面 的法向量为 ，
而平面 的法向量为 ，
∴ ， ………………（10分）
因为二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ． ………………（12分）
19、解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：
（百元）
………………（4分）
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：
………………（6分）
……（10分）
(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分)
………………（12分）
（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）
20.【解析】(Ⅰ)由 , , …………………2分
根据椭圆定义知 的轨迹为以 为焦点的椭圆,
其长轴 ,焦距 ,短半轴 ,故 的方程为 . ……4分
(Ⅱ)设 : ,由过点 的直线 与曲线 相切得 ,
化简得 (注:本处也可由几何意义求 与 的关系)…………6分
由 ,解得 …………7分
联立 ,消去 整理得 ,…………………8分
直线 被曲线 截得的线段一端点为 ,设另一端点为 ,解方程可得 ,
所以 ……………………10分
(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)
令 ,则 ,
考查函数 的性质知 在区间 上是增函数,
所以 时, 取最大值 ,从而 . ………… 12分
21.【解析】(Ⅰ)因为
…2分
因为 为 的极值点,所以由 ,解得 ……………3分
检验,当 时, ,当 时, ,当 时, .
所以 为 的极值点,故 .……………4分
(Ⅱ) 当 时,不等式 ,
整理得 ,即 或 …6分
令 , , ,
当 时, ；当 时, ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增,而 ；
故 ； ,
所以原不等式的解集为 ；………………………………8分
(Ⅲ) 当 时,
因为 ,所以 ,所以 在 上是增函数. …………………9分
当 时, , 时, 是增函数, .
① 若 ,则 ,由 得 ；
② 若 ,则 ,由 得 .
③ 若 , ,不合题意,舍去. …………………11分
综上可得,实数 的取值范围是 ……………………………12分
(亦可用参变分离或者图像求解).
22、选修4-1 几何证明选讲
解：连接 因为 是圆的内接四边形，
所以 ，又 ，
所以 ，即有 ，又 ，
所以 ，又 是 的平分线，
所以 ，从而 。 ……………5分
（2）由条件的 设 ，
根据割线定理得 ,
即 ，
所以 即
解得 ，或 （舍去），即 …………………10分
23（Ⅰ） ……………2分
为圆心是（ ，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. ……………5分
（Ⅱ）当 时，
为直线
从而当 时， …………………（8分）
所以，此时 点坐标为 …………………10分
24.解（1）当x -3时,原不等式化为-3x-2 2x+4, 得x -3,
当-3<x ,原不等式化为4-x 2x+4,得3<x
当x> 时，3X+2 2X+4,得x
综上，A= …………5分
(2)当x -2时, 0 2x+4成立.
当x>-2时, = x+3 2x+4.
得x +1 或x ,
所以 +1 -2或 +1 ,得 -2.
综上， 的取值范围为 -2………………10分
