冀州中学高三年级第四次月考理科数学试题
考试时间120分钟 试题分数150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1、设复数 满足 ，则 =（ ）
A、 B、 C、 D、
2、设集合P＝{x| }，则集合P的非空子集个数是（ ）
A、2 B、3 C、7 D、8
3、下列说法中正确的是 （ ）
A、若命题 有 ，则 有 ；
B、若命题 ，则 ；
C、若 是 的充分不必要条件，则 是 的必要不充分条件；
D、方程 有唯一解的充要条件是
4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该
几何体的体积是 （ ）
A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3
5、函数 的零点所在的区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移
1个单位，所得函数图像对应的解析式为 （ ）
A、 B、
C、 D、
7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，
则 的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知函数 （ ）的图象在 处的切线
斜率为 （ ），且当 时，其图象经过
，则 A、 B、5 C、6 D、7（ ）
9、已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则 的最大值是A、1 B、2 C、 D、 （ ）
10、将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有 （ ）
A、192 B、144 C、288 D、240
11、若椭圆 的离心率 ，右焦点为 ，方程 的两个实数根分别是 ，则点 到原点的距离为（ ）
A、 B、 C、2 D、
12、已知偶函数 满足： ，若函数 ，则 的零点个数为 （ ）
A、1 B、3 C、2 D、4
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)
13、二项式 的展开式中常数项为 （用数字作答）。
14、若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为 。
15、已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值为7，则 的最小值为 。
16、已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的表面积为 。
三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17、（本小题满分12分）
已知函数 满足
（1）求实数 的值以及函数 的最小正周期；
（2）记 ，若函数 是偶函数，求实数 的值.
18、（本小题满分12分）
某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）求直方图中 的值；
（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一学生中任选 名学生，这 名学生中上学路上所需时间少于 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
19、（本小题满分12分）
已知四棱锥 中， 平面 ，
底面 是边长为 的菱形， ，
．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）设 与 交于点 ， 为 中点，
若二面角 的正切值为 ，
求 的值．
20、（本小题满分12分）
已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值．
21、（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数 ，求函数 的单调区间；
（Ⅲ）若在 上存在一点 ，使得 ＜ 成立，求 的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。
22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.
如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，
直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结
MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，试求 的大小．
23、（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.
已知直线 经过点 ，倾斜角 ，圆C的极坐标方程为
(Ⅰ)写出直线 的参数方程，并把圆 的方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)设 与圆 相交于两点 ，求点 到 两点的距离之积.
24、（本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.
已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.
（1）当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。
河北冀州中学高三年级第四次月考
理科数学答题卡
班级 姓名
考场
准考证号
条形码粘贴区(居中)
缺考
违纪
注意事项
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴好条形码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求字体公整，笔记清楚。
3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。
填涂样例
正确填涂
错误填涂
一. 选择题（每小题5分，共60分）
1 abcd
2 abcd
3 abcd
4 abcd
5 abcd
6 abcd
7 abcd
8 abcd
9 abcd
10 abcd
11 abcd
12 abcd
二. 填空题（每小题5分，共20分）
13、 14、
15、 16、
三. 解答题
17、（12分）
18、（12分）
19、（12分）
20、（12分）
21、（12分）
（10分）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。
河北冀州中学高三年级第四次月考理数答案
一、选择题：CBCDCA BBCDAB
二、填空题：13、－10； 14、 ； 15、7； 16、
三、解答题：
17、解（1）由 得， 解得 ……3分
将 ， 代入 得
所以 …………5分
所以函数 的最小正周期 …………6分
（2）由（1）得 ，所以 ……8分
函数 是偶函数，则对于任意的实数 ，均有 成立。
所以
整理得， 对于任意的实数 均成立，
只有 ，解得 ，所以 ， ……12分
18、解：（Ⅰ）由直方图可得： ．
所以 ． 3分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于 小时的频率为： ，
因为 ，所以1200名新生中有 名学生可以申请住宿． 6分
（Ⅲ） 的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 分钟的概率为 ， , ,
, , ．
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
．（或 ）
所以 的数学期望为 ． 12分
19．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分
（Ⅱ）如图,以 为原点, 所在直线为 轴, 轴建立空间直角坐标系，则
, ,
…………8分
从而
………………9分
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为 ．……10分
设平面PMD的法向量为 ,由 得
取 ，即 ……………11分
设 与 的夹角为 ，则二面角 大小与 相等从而 ，得
从而 ，即 ． ……………12分
20．解：（Ⅰ）联立 ，消 并化简整理得 ．
依题意应有 ，解得 ．
设 ，则 ，
设圆心 ，则应有 ．
因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ，
又 ．
所以 ，解得 ．
所以 ，所以圆心为 ．
故所求圆的方程为 ．……………6分
（Ⅱ）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ，
又 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知 ，所以 ，
直线 ： 整理得 ，点 到直线 的距离 ，
所以 ． 令 ， ，
＋ 0 －
极大
，
由上表可得 的最大值为 ．所以当 时， 的面积取得最大值 ．
……………12分
21、解析：（Ⅰ） 的定义域为 ，
当 时， ， ， ， ,切点 ，斜率
∴曲线 在点 处的切线方程为 ………………………………… 4分
（Ⅱ） ， ……5分
①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；………………………6分
②当 ，即 时，在 上 ，所以函数 在 上单调递增．
………………………………… 8分
（Ⅲ）在 上存在一点 ，使得 成立，即在 上存在一点 ，使得 ，即函数 在 上的最小值小于零．……9分
由（Ⅱ）可知：①当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，由 可得 ，
因为 ，所以 ；………………………………… 10分
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 最小值为 ，由 可得 ；…………………11分
③当 ，即 时，可得 最小值为 ，
因为 ，所以， 故
此时不存在 使 成立．
综上可得所求 的范围是： 或 ．………………12分
22、（Ⅰ）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理 ， ，得 ，设半径OB= ，因BD=OB，且BC=OC= ，
则 ， ，所以 ……5分
（Ⅱ）由（1）可知， ，且 ，
故 ∽ ，所以 ； ………………………… 8分
根据圆周角定理得， ，则 …………… 10分
24、解：当a =－3时， ，
不等式f(x)≥3的解集为 ……………………5分
(Ⅱ) |x + a| + |x－2|≤|x－4|，有|x + a| ≤|x－4|－|x－2|，
当 有|x + a| ≤(4－x)－(2－x)=2, 即 ……………………10分
点击下载：河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第四次月考理科数学试题
