赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）试题 2016年1月
（考试时间120分钟. 共150分）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
2. ， ，则
A . B. C. D.
3.等比数列 中， ，则
A. B. C. D.
4.已知命题 ，命题 ，使得 成立，则下列命题是真命题的是
A. B. C. D.
5.从 个英语教师和 个语文教师中选取 名教师参加外事活动，其中至少要有一名英语教师，则不同的选法共有
A. B.
C. D.
6.变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为
A. B. C. D.
7.若 是不相同的空间直线， 是不重合的两个平面，则下列命题正确的是
A . B. ∥ ， ∥
C. ， ， ∥ ， ∥ ∥ D. ∥
8.将函数 的图像分别向左、向右各平移 个单位后，所得的两个图像的对称轴重合，则 的最小值为
A . B. C. D.
9.已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为 ，则空白处应填入的条件是
A . B. C. D.
11.已知圆 的半径为 ， 是圆 上任意两点，且 ， 是圆 的一条直径，若点 满足 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
12.已知函数 在 处取得极大值，则 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. )的展开式中 的系数为______.
14.已知对任意 ，点
在直线 上,若 ， 则 =_________.
15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
16.已知 是定义在 上且周期为 的函数，在区间 上，
，其中 ，若 ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数 图像的一条对称轴是直线 ，求函数 的最小正周期
（2）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ， ， 求 的值
18．（本小题满分12分）
为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某
脐橙种植园中随机抽出 棵，每棵挂果情况
编成如图所示的茎叶图（单位：个）：若挂果
在 个以上（包括 ）定义为“高产”，
挂果在 个以下（不包括 ）定义为“非高产”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取 棵，再从这 棵中选 棵，那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?
（2）用样本估计总体，若从该地所有脐橙果树（有较多果树）中选3棵，用 表示所选 棵中“高产”的个数，试写出 的分布列，并求 的数学期望．
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥 中， 为矩形，
， ， 为 的中点，
、 分别为 上的点，且 .
（1）证明： ；
（2）求 与平面 所成角的余弦值．
20.(本小题满分12分)
从抛物线 ： 外一点 作该抛物线的两条切线 （切点分别为 ），分别与 轴相交于 ，若 与 轴相交于点 ，点 在抛物线 上，且 （ 为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：四边形 是平行四边形.
21.(本小题满分12分)
已知函数
（1）求函数 的图像在 处的切线方程
（2）证明：
（3）设 ，比较 与 的大小，并说明理由
请考生在第（22）、（23）、（24）两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22.（本小题满分10分）
如图， 是圆 的直径， 是半径 的中点， 是 延长线上一点，且 ，
直线 与圆 相交于点 （不与 重合）， 与圆 相切于点 ，连结
（1）求证： ；
（2）若 ,，试求 的大小．
23.（本小题满分10分）
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值．
24.（本小题满分10分）
已知 为正实数，若对任意 ，不等式 恒成立.
（1）求 的最小值；
（2）试判断点 与椭圆 的位置关系，并说明理由.
赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题
1～5.CBDAB； 6～10.CADDA； 11～12.CB.
二、填空题
13. ； 14. ； 5. ； 16. .
三、解答题
17.解：
………………………………………………………………3分
（1）由 得： ，
因为 ，所以 …………………………………………………………5分
函数 的最小正周期为 ……………………………………………6分
（2） ， ………………………………7分
又 ，
…………………………………………9分
由 …………………………………………………………………………10分
所以 …………………………………………12分
18. 解：（1）根据茎叶图，有“高产” 棵，“非高产” 棵，用分层抽样的方法，每棵被抽中的概率是 ………………………………………………………………2分
所以选中的“高产”有 棵，“非高产”有 棵，用事件 表示至少有一棵“高产”被选中，则 ………………………………4分
因此至少有一棵是“高产”的概率是
（2）依题意，抽取 棵中 棵是“高产”，
所以抽取一棵是“高产”的频率为 ………………………………………………5分
频率当作概率，那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是 ，
又因为所取总体数量较多，抽取 棵可看成进行 次独立重复试验，
所以 服从二项分布 ……………………………………………………………6分
的取值为 ， ， ， ， ， ，
， ………………………9分
所以 的分布列如下：
…………………………………………………11分
所以 （或 ）……………12分
19.解：证法一：（1）如图，取 中点 ，连接 …………………………1分
因为 ，所以 ……………………………………………………2分
所以 ，所以 ……………………3分
因为 ，所以 ……………4分
，所以
所以 …………………………………………5分
， 平面
所以 ……………………………………………………………………………6分
证法二：设 ，以 为原点，射线 ， ， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系则 ， ， ， ， ………3分
（1）证明： ， ……………………………………4分
因为 ……………………………………………………5分
所以 ……………………………………………………………………………6分
(2) ，设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以 ……………………8分
取 ，得 ……………………………………9分
设 与平面 所成角为
…………………………………………10分
………………………………………………………………………………11分
所以 与平面 所成角的余弦值为 ……………………………………………12分
20. 解：（1）因为
所以 ，即抛物线 的方程是 …………3分
（2）由 得 ， ………………4分
设 ，
则直线 的方程为 ， ①…………………………………………5分
则直线 的方程为 ，②…………………………………………6分
由①和②解得： ，所以 ……………………7分
设点 ，则直线 的方程为 ………………………………………8分
由 得
则 ……………………………………………………………9分
所以 ，所以线段 被 轴平分，即被线段 平分，
在①中，令 解得 ，所以 ，同理得 ，所以线段 的中点
坐标为 ，即 ……………………………………………………10分
又因为直线 的方程为 ，所以线段 的中点 在直线 上，
即线段 被线段 平分…………………………………………………………11分
因此，四边形 是平行四边形…………………………………………………12分
21. 解：(1) 因为
所以 ， …………………………………………………1分
又因 ，所以切点为 ………………………………………………2分
故所求的切线方程为： ，即 ………………………3分
（2）因为 ，故 在 上是增加的，在 上是减少的，
， ……………………………………4分
设 ，则 ，故 在 上是增加的，
在 上是减少的，故 ，
所以 对任意 恒成立……………………………………7分
（3）
， ,故只需比较 与 的大小…………………8分
令 ，设 ，
则 ………………………9分
因为 ，所以 ，所以函数 在 上是增加的，
故 ……………………………………………………………………10分
所以 对任意 恒成立……………………………………………………11分
即 ,从而有 ……………………………12分
22.证明：（1）因 与圆 相交于点 ，
由切割线定理 ， …………………………………2分
得 …………………………………………………………………3分
设半径 ，因 ，且 ，
则 ， ………………………………3分
所以 ………………………………………………………………4分
所以 …………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可知， ，且 ………………7分
故 ∽ ，所以 ………………………………………8分
根据圆周角定理得， ，则 ……………9分
…………………………………………………………………………10分
23.解：（1）由
得圆C的方程为 ……………………………………………4分
（2）将 代入圆的方程得 …………5分
化简得 ……………………………………………………………6分
设 两点对应的参数分别为 ,则 ………………………7分
所以 ……………………8分
所以 , , …………………………………10分
24.解：（1）因为 ， ，所以 ……………………1分
因为 ，所以 …………………………………………………………3分
，所以 ……………………5分
所以 的最小值为 …………………………………………………………………6分
（2）因为 ………………………………………………7分
所以 ……………………………………………………………………………8分
即 ，所以点 在椭圆 的外部……………………10分
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