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四川省眉山市2012届高三4月第二次诊断性考试
数学（理）试题
满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数
A．－2 B．2 C．2i D．－2i
2．如果S=｛1，2，3，4，5｝，M=｛1，4｝，N=｛2，4｝，那么
A．｛2，3｝ B．｛2，5｝ C．｛1，2，4｝ D．｛3，5｝
3．计算
A．4 B．5 C． D．
4．如图， 为互相垂直的单位向量，则向量 可表示为
A．3 B．-2
C． D．
5．已知函数 ，则x=0是函数f（x）的
A．连续点 B．无定义的点 C．不连续的点 D．极限不存在的点
6．若把函数 的图象向右平移m（m>0）个单位长度，使点 为其对称中心，则m的最小值是
A． B． C． D．
7．“ ”是“直线 与圆 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知直线 ⊥平面 ，直线m ，给出下列命题：
① ∥ ② ∥m．③ ∥m ④ ∥
其中正确的命题是
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
9．某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型8次，B型6次，每辆卡车每天往返的运输成本为A型160元，B型252元。每天合理安排派出的A型、B型车的车辆数，使公司成本最低，最低成本为（ ）元。
A．1372 B．1220．8 C．1464 D．1304
10．等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，则使a1＋a2＋…＋an＞1a1＋1a2＋…＋1an恒成立的正整数n的最小值为
A．18 B．19 C．20 D．21
11．有两排座位,前排11个座位,后排12个座位．现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数
A．234 B．346 C．350 D．363
12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x）， ，且当x∈[－2,0] 时， ，若在区间（－2,6]内关于x的方程
（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（1,2） B．（2，＋∞）
C．（1，34） D．（34，2）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13． 展开式中只有第六项的二项式系数最大，
则展开式中的常数项等于 ．
14．已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为 ．
15．如右图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=BC= ，则该三棱锥的外接球的表面积为_____________．
16．设 为两组实数， 是 的任一排列，我们称 为两组实数的乱序和， 为反序和， 为顺序和。根据排序原理有： 即：反序和≤乱序和≤顺序和。给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若 其中 都是正数，则A≤B；
③设正实数 的任一排列为 则 的最小值为3；
④已知正实数 满足 为定值,则
的最小值为 ．
其中所有正确命题的序号为 ．（把所有正确命题的序号都填上）
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤．
17．（本小题满分12分）已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．
（1）求取出的4本书都是数学书的概率．
（2）求取出的4 本书中恰好有1本是英语书的概率．
（3）设 为取出的4 本书中英语书本数，求 的分布列和数学期望E ．
18．（本小题满分12分）（1）已知 中，角 的对边分别是 ， ， ，求 ．
（2）设 ， 与 的图像关于直线 对称，当 时，求 的最大值．
19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面
互相垂直，BE//CF， ，
．（1）证明：AE//平面DCF；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C为 ；
（3）在（2）的条件下，求几何体ABE-DCF的体积。
20．（本小题满分12分）已知平面上一定点 和一定直线 Ｐ为该平面上一动点，作 垂足为 ，
（1） 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点Ｏ是坐标原点， 两点在点Ｐ的轨迹上，若 ，求 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知数列 中 ， ，其前 项和满足： ．（1）试求数列 的通项公式；
（2）令 ， 是数列 的前 项和，证明： ；
（3）证明：对任意的 ，均存在 ，使得（2）中的 成立．
22．（本小题满分14分）设函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（2）当 时,求 的极值点并判断是极大值还是极小值；
（3）求证对任意不小于3的正整数 ，不等式 都成立．:
参考答案
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． A． 2． D． 3． B． 4． C． 5． C． 6． B． 7． A． 8． D．
9． D．参考教材第二册（上）复习参考题七16题。
10． C．由题意得：（a1q16）2＝a1q23，∴a1q9＝1．
由等比数列的性质知：数列{1an}是以1a1为首项，以1q为公比的等比数列，要使不等式成立，
则须a1(qn－1)q－1＞1a1[1－(1q)n]1－1q，把a21＝q18代入上式并整理，得q18（qn－1）＞q（1－1qn），
qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数 的取值范围是n≥20．
11． B．∵前排中间3个座位不能坐,
∴实际可坐的位置前排8个,后排12个．
（1）两人一个前排,一个后排,方法数为C C A ;
（2）两人均在后排,共A 种,还需排除两人相邻的情况:A A ,即A －A A ;
（3）两人均在前排,又分两类:①两人一左一右,为C C A ,②两人同左或同右时,有 2
（A －A A ）种．
综上,不同排法的种数为C C A +（A －A A ）+C C A +2（A －A A ）=346．
12．D．由f（-x）=f（x），知f（x）为偶函数， 由 得
，知f（x）是周期为4的周期函数，
于是可得f（x）在（－2,6]上的草图如图中实线所示，
而函数g（x）＝loga（x＋2）（a＞1）的图象如图中虚线所示，
结合图象可知，要使得方程f（x）－loga（x＋2）＝0（a＞1）在区间（－2,6]内恰有3个不同的实
数根，必需且只需g(2)<3，g(6)>3.所以loga4<3，loga8>3.解得34＜a＜2，选 D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．180 14．
15．8 ．由已知易知球心为PC的中点，所以球半径R= ．
16．① ③ ．易知①对，②错，对于③，不妨设a1≥a2≥a3>0,则 ，
由排序原理有 ≥ ，所以最小值为3；对于④，
由 =P，
则④错
三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤．）
17．解（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书” 的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”为P1．
P1 = P（AB） = P（A）P（B） 3分
（2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学” 的事件为C, “从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学” 的事件为D, 由于C, D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2．
P 2= P（C+D） = P（C）+P（D） = 6分
（3）由题意， 可能的取值为0, 1, 2，3
P（ =0） = , P（ =1） = , P（ =2） =
P（ =3） = 9分
所以 的分布列为
0 1 2 3
P
10分
12分
18．解（1） 1分
又
即 ， 5分
6分
（2）
8分
与 的图像关于直线 对称
10分
的最大值是 12分
19．解法一：（1）证明过点E作EG CF交CF于G，
连结DG， 四边形BCGE是矩形，
又四边形ABCD是矩形，
四边形AEGD是平行四边形，
AE//DG，又 平面DCF，
AE//平面DCF。 3分
证法2：
AE//平面DCF。 3分
（2） 平面ABCD 平面BEFC，AB BC，
AB 平面BEFC
过点B作BH FE交FE的延长线于H，连结AH， AH FE。
故 是二面角A-EF-C的平面角。 5分
在
又 ， 7分
当AB的长为 时，二面角A-EF-C为 。 9分
（3）连结AF，FB，何体ABE-DCF的体积
12分
解法二：如图建立空间坐标系C-xyz，
设
1分
（1） ，
CB AE，CB BE，所以CB 平面ABE，CB 平面DCF 2分
所以，平面ABE//平面DCF，故AE//平面DCF。 3分
（2） ，
又
，解得b=3，c=4， 5分
设平面AEF的法向量是n=（1, y, z），由 n , n
解得n 7分
因为BA 平面BEFC，
9分
（3）同解法一
20．解:（1）由 得: 1分
设 ,则 ,化简得: , 3分
点P在椭圆上,其方程为 5分
（2）设 、 ，由 得： ，所以，
、B 、C三点共线．且 ,得: ,即:
因为 ,所以 ① 8分
又因为 ,所以 ②
由①-②得: ,化简得: , 10分
因为 ,所以 ．
解得: 所以 的取值范围为 ． 12分
21（1）解 由 得 ，
， ，即 ．
又 ， ，
故数列 的通项公式为 ． 4分
（2）证明 ，
． 8分
（3）证明 由（2）可知 ，
若 ，则得 ，化简得 ．
， ， ， ，
当 ，即 时，取 即可，
当 ，即 时，则
记 的整数部分为 ，取 即可，
综上可知：对任意的 均存在 使得式（2）中的 成立．12分
22．解：（1）由题意知， 的定义域为 ，
当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． 4分
（2）当 时 有两个不同解，
，
,
此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表：
减 极小值 增
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ， 8分
（3）由（2）可知当 时，函数 ，
此时 有惟一极小值点
且
11分
令函数
14分
