2013河南六市联考数学理试题及答案
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2013年河南省六市高中毕业班第一次联考
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．全集U＝R，集合A＝{x｜ －x－2＞0}，B＝{x｜1＜ ＜8)，则（CUA）∩B等于
A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）
2．复数z＝ （i是虚数单位）则复数z的虚部等于
A．1 B．i C．2 D．2i
3．已知向量a＝（tanθ，－1），b＝（1，－2），若（a＋b）⊥（a－b），则tanθ＝
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
4．已知正项数列{ }中，a1＝1，a2＝2，2 ＝ ＋ （n≥2），则a6等于
A．16 B．8 C．2 D．4
5．函数f（x）＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是
A．（－∞，2] B．（－∞，2）
C．（2，＋∞） D．（0，＋∞）
6．从如图所示的正方形OABC区域内随机任取一个点
M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为
A． B．
C． D．
7．如果执行下面的框图，输入N＝2012，则输出的数等于
A．2011×22013＋2
B．2012×22012－2
C．2011×22012＋2
D．2012×22013－2
8．若A为不等式组 表示的平面区域，则当a
从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的
那部分区域的面积为
A． B．
C． D．1
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．π＋ B．2π＋
C．π＋ D．2π＋
10．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的渐近线与圆 相交，则双曲线的离心率的取值范围是
A．（1，3） B．（ ，＋∞） C．（1， ） D．（3，＋∞）
11．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ ，SA＝SC＝2，AC的中点为M，∠SMB的余弦值是 ，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是
A． B．2π C．6π D． π
12．对于定义域和值域均为[0，1]的函数 ，定义 ＝ , ＝ ，… ＝ ，n＝1，2，3…．满足 ＝x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设 ＝ 则f的n阶周期点的个数是
A．2n B．2（2n－1） C． D．2n2
第Ⅱ卷
本卷分为必做题和选做题两部分,13－21题为必做题,22、23、24为选做题。
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分,共20分。
13．已知x、y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且 ＝0．95x＋a，则a＝_______.
x 0 1 3 4
y 2．2 4．3 4．8 6．7
14．若直线2ax－by＋2＝0（a＞0，b＞0）被圆 ＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则 的最小值为______________．
15．在△ABC中，A＝30°，AB＝4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为____________．
16．数列{ }满足 ＝ （k∈N﹡）．设f（n）＝a1＋a2＋…＋ ＋ ，则f（2013）－f（2012）等于_______________．
三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝sin（ωx＋ ）（ω＞0，0＜ ＜π＝在一个周期上的一系列对应值如
表：
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC＝2，BC＝3，f（A）＝－ （A为锐角），求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．
（Ⅰ）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（Ⅱ）已知该厂生产的一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：y＝ 从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被
平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，
AF＝2，CE＝3，O为AB的中点．
（Ⅰ）求证：OC⊥DF；
（Ⅱ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为6．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率是k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝lnx＋ （a∈R），g（x）＝x，F（x）＝f（1＋ ）－g（x）（x∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤ ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝0时，若x1，x2∈R，且x1≠x2，证明：F（ ）＜ ；
（Ⅲ）当a＝0时，若方程m[f（x）＋g（x）]＝ （m＞0）有唯一解，求m的值．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是
BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若
AF＝4，CF＝6，求AC的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为 （t为参数，0＜α＜π）．曲线C的极坐标方程为ρ＝ ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求｜AB｜的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设f（x）＝｜x＋a｜－2x，a＜0，不等式f（x）≤0的解集为M，且M {x｜x≥2}．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a取最大值时，求f（x）在[1，10]上的最大值．
