2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2013年长春市高中毕业班第二次调研测试
数 学(理科）
2013东北三省二模数学理科试题答案(长春二模)完整下载
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分 钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡 一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写淸楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹淸楚.
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷(选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1. 己知集合P={x|x2-x-2 O},Q= {x|log2(x-1) 1},则 =
A. [2,3] B. (-∞,-1]U[3,+∞)
C. (2,3] D. (-∞,-1]U(3,+∞)
2. 设复数Z1=1-i,Z2= +i,其中i为虚数单位，则 的虚部为
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n为
A.3 B.4
C. 5 D.6
4. 在ABC中，若tanAtanB= tanA+ tanB+ 1，则cos C的值是
A. B. -
C. D.－
5. 已知命题p:“直线l丄平面α内的无数条直线”的充耍条件是“l丄α ”；命题q:若平面α丄平面ββ直线 ，则“ a丄α ”是“ a// β”的充分不必要条件. 则正确命题是
A. B. C. D .
6. 如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的 菱形，则该几何体的体积为
A. A3 B.
C. D.
7. 已知 （a> O)的展开式中常数项为240,则 (x + A)(X -2a)2的展开式中x2项的系数为
A. 10 B. -8 C. -6 D. 4
8. 右图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情 况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在 [30,35)、[35，40)、[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为
A. 0.04 B. 0.06
C. 0.2 D. 0.3
9. 已知等差数列{an}的前n项和为满足a2()13=S2()13=2013,则a1 =
A. -2014 B. -2013 C. -2012 D. -2011
10.已知函数f(x)满足f(2+x)十f(6-x) = 0，现将函数f(x)的图像按照 平移，得到g(x）=2 + x + sin(x + 1)的图像，则 =
A. (-5,1) B. (-1,2)
C (-4，-2) D. (1,3)
11. 若F1 F2是椭圆 （a>2b> O)的两个焦点，分别过F1，F2作倾斜角为45。 的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶 点的四边形的面积比等于 ，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
12 已知函数. ，则下列关于函数y=f[f(x)]+1的零点个数的判断正确的是
A. 当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点
B. 当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点
C. 无论k为何值，均有2个零点
D. 无论k为何值，均有4个零点
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13.己知向量a,b满足|a|= 2,丨b丨=1, (6-2a)丄b,则|a +b|=_____.
14. 函数. 的定义域为(O, ),则函数f(x)的值域为____.
15.向平面区域 .内随机投入一点，则该点落在曲线 下方的概率等于______.
16.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱 锥叫做正棱锥.已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥 的体积的最大值为______.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.(本小题满分12分）
数列{an}的前N项和为SN,且Sn= (an-l),数列{bn}满足 ,B1 =3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.
⑵设数列{cn}满足cn = an log2 (bn+1),其前n项和为Tn 求Tn.
18.(本小题满分12分）
某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中 一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把消防工具与用 途一对一全部连接起来.
(1) 求该参赛者恰好连对一条的概率.
(2) 设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望.
19.(本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面ABCD为菱形，AB=1 AA1= , .
⑴求证:BD1丄平面AB1C
(2)在棱A1D1上是否存在一点E，使得二面角B1-AC-E的大小为60°?若存在，求出A1E的长；若不存在，说明理由.
20. (本小题满分12分）
已知定点A(1，0), B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD,使其两对 角线的交点恰好落在y轴上.
(1) 求动点D的轨迹五的方程.
(2) 若四边形MPNQ的四个顶点都在曲线E上，M，N关于x轴对称，曲线E在M点处的切线为l，且PQ//l
①证明直线PN与QN的斜率之和为定值；
②当M的横坐标为 ，纵坐标大于O, =60°时，求四边形MPNQ的面积
21.(本小题满分12分）
已知函数f(x) =ax3 +bx2 +cx的导函数为h(x)，f(x)的图像在点(-2，f(-2))处的切线方程为3x-y+8=0，且 ,又函数g(x) = KXEX与函数y=ln(x +1)的图像在原点处有相同的切线.
(1)求函数f(x)的解析式及k的值.
⑵若f(x) ≤g(x)-m+x +1对于任意x∈[O,+ ]恒成立，求m的取值范围
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲.
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB= AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2， =30.
(1)求AF的长.
⑵求证：AD=3ED.
23. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （a为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
(1) 求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.
(2) 设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.
24. (本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.
设函数 .
(1)求证：当 时，不等式lnf(x)>1成立.
⑵关于x的不等式 在R上恒成立，求实数a的最大值.
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2013年长春市高中毕业班第二次调研测试
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.C 2 .D 3. B 4. B 5.D 6.D 7.C 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B
简答与提示：
1. C ， ，则 . 故选C.
2. D ，虚部为 . 故选D.
3. B 初始值 ，第1次循环后 ，第2次循环后 ，第3次循环后 ，此时 ，因此不进入第4次循环，输出 .
故选B.
4. B 由 ，可得 ，即 ，所以 ，则 ， ，故选B.
5. D 由题意可知， 为假命题， 为真命题，因此 为真命题，故选D.
6. D . 故选D.
7. C 展开式中，常数项为 ，则 ， ，
的展开式中， 项为
则 项的系数为 . 故选C.
8. C 由 的频率为 ， 的频率为 ，又 ， ， 的频率成等差，则 出现的频率为0.2. 故选C.
9. D ，所以 ，则 ， . 故选D.
10. A 由函数 满足 可知 以 点为对称中心，又 可知 以 点为对称中心，因此 . 故选A.
11. B 由题可知，所作的四边形为平行四边形，可求得其面积为： ；
以椭圆顶点为顶点的四边形为菱形，其面积为 ，
从而 ， ，即有 ，可得 或 .
当 时， ，即 与条件矛盾，不成立；
当 时， ，则 因此 . 故选B.
12. B 结合图像分析：
当 时， ，
则 或 ；
对于 ，存在两个零点 ；
对于 ，存在两个零点 .
此时共计存在4个零点.
当 时， ；
则 ，此时仅有一个零点 . 故选B.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
简答与提示：
13. 由题意可知 ，又 ，则 ，所以 ，因此 .
14.
因为 ，所以 ，
所以 的值域为 .
15. ，
，
.
16. 设球心到底面距离为 ，则底面边长为 ，高为 ，
，其中 ，
，解得 或 （舍），
.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查利用数列性质与递推公式求取数列通项公式以及错位相减求和的应用. 对考生的运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) 对于数列 有：
①
②
由①-②得 即 ，
时， 得 ，
则 ； (3分)
对于数列 有： ，可得 ，即 .
，即 . (6分)
(2) 由(1)可知： .
(8分)
③
④
由③-④得
.
则 . (12分)
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.
【试题解析】(1) . (4分)
(2) 的所有可能取值为： ， ， ， . (6分)
， ，
， ，
-8 -1 6 20
(10分)
且 . (12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：(1) 取 中点 ，连结 ，则 .
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
从而 ， ， ，
则 ， ，因为 与 不共线，
所以 平面 . (6分)
(2) 假设这样的点 存在，设 ，则 ，
由(1)可知， 为平面 的一个法向量，
由 ， 可得平面 的一个法向量 .
令二面角 的平面角 满足 ,
，解得 ，因为 ，所以
满足点 在棱 上，因此所求的点 存在，且 的长为 . (12分)
20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：(1) 设 ，则由于菱形 的中心 在 轴上，顶点 在 轴上，所以 ， ，而 ，所以 ， .
又 ，所以 ，即 .
而 不可能在 轴上，所以顶点 的轨迹 的方程为 . (5分)
(2) ①设 ， ， (不妨令 )，则 ，
则 ，
同理 ， ，
而 ，
因为 ，所以 ，因此 即 ，
所以 ，即直线 与 的斜率之和为定值.
(8分)
② 因为 点横坐标为 ，且纵坐标大于0，所以 ， .
由于 ，且 轴，所以 平分 ，
而 ，所以 ， .
从而直线 ，即 ；
直线 ，即 .
由 消去 并整理得 ，
所以 ，即 .
同理 消去 并整理得 .
所以 ，即 .
因此 为所求. (12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.
【试题解析】解：(1) 由 ，
，
由 在 处切线方程为 可知
①
②
又由 可知
③
由①②③解得 .
从而 的解析式为 . (5分)
由 可知 ，
所以函数 的图像在原点处的切线斜率为1.
因此 ，可得 ， (7分)
(2) 等价于 .
即 ，
小于等于 在 上的最小值.
设 ，
则 ，又 且 ，
所以 必有实根 ，且 ， .
当 时， ；当 时， .
所以 .
所以 ， .
所以 在 上的最小值为1，从而 ，即 的取值范围是 .
(12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解(1) 延长 交圆 于点 ，连结 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，可知 .
所以根据切割线定理 ，即 . (5分)
(2) 过 作 于 ，则 与 相似，
从而有 ，因此 . (10分)
23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用参数方程对曲线上点到直线距离的求取等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解(1) 对于曲线 有
，即 的方程为： ；
对于曲线 有
，所以 的方程为 . (5分)
(2) 显然椭圆 与直线 无公共点，椭圆上点 到直线 的距离为：
，
当 时， 取最小值为 ，此时点 的坐标为 . (10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】解 (1) 证明：由
得函数 的最小值为3，从而 ，所以 成立. (5分)
(2) 由绝对值的性质得 ，
所以 最小值为 ，从而 ，解得 ，因此 的最大值为 .
(10分)
