2013年福州高三市质检数学文科试题及答案
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2013年福州市高中毕业班质量检查
数学(文科)试卷
（完卷时间120分钟；满分150分）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1. 是虚数单位，复数 ，若 的虚部为2，则
A．-2 B． 2 C．-1 D．1
2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
3. 命题“存在 ， ”的否定是
A．不存在 ， B．存在 ，
C．对任意的 ， D．对任意的 ，
4.已知圆C：x2＋y2＝2与直线l：x＋y＋ ＝0，则圆C被直线l所截得的弦长为
A．1 B． C．2 D．
5. 已知命题“直线 与平面 有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线 上的点都在平面 内；
②直线 上有些点不在平面 内；
③平面 内任意一条直线都不与直线 平行．其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 在正项等比数列 中，已知 ，则 的最小值为
A.64 B. 32 C. 16 D.8
7. 如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为
A. B.
C. D.
8. 设动点 满足 ，则 的最小值是
A. 2 B. -4 C. -1 D. 4
9. 如图所示为函数 的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么 .
A．2 B．1 C．-1 D．
10. 已知 =1， = ， • =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设 =m +n （m，n∈Ｒ），则 =
A． B． C． D．1
11. 已知抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
12.对于函数 与 和区间D，如果存在 ，使 ，则称 是函数 与 在区间D上的“友好点”．现给出两个函数
① ， ② ，
③ ， ④ ，
其中在区间 上存在“友好点”的有
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13.已知函数 ，则 .
14．．已知在 中， 且三边长构成公差为2的等差数列， 则 所对的边 = .
15．已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入 ，输出 ，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）
① ②
③ ④
16.设数列｛an｝是集合｛3s＋3t| 0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，
即a1＝4，a2＝10，a3＝12，a4＝28，a5＝30，a6＝36，…，
将数列｛an｝中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：
4
10 12
28 30 36
…
= （用3s＋3t形式表示）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，且 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．(本小题满分12分)
已知平面向量 ，若函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）将函数 的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数 的图象，若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了
编号 性别 投篮成绩
1 男 95
8 男 85
10 男 85
20 男 70
23 男 70
28 男 80
33 女 60
35 女 65
43 女 70
48 女 60
了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1~50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：
编号 性别 投篮成绩
2 男 90
7 女 60
12 男 75
17 男 80
22 女 83
27 男 85
32 女 75
37 男 80
42 女 70
47 女 60
甲抽取的样本数据 乙抽取的样本数据
（Ⅰ）观察乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，求两名男同学中恰有一名非优秀的概率．
（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？
优秀 非优秀 合计
男
女
合计 10
（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.010 0.005[来] 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 ）
20．(本小题满分12分)
如图，已知多面体 的底面 是边长为 的正方形， 底面 ， ，且 ．
（Ⅰ ）求多面体 的体积；
（Ⅱ ）求证：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面 内过K点作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆C： 的离心率为 ，
直线 ：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直
径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.设直线 的斜率 ，在 轴上是否存在点 ，使得 是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在，求出实数 的取值范围，如果不存在，请说明理由.
22.（本小题满分14分）
已知函数 .
（I）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ,对 都有 成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明： （ 且 ）.
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数学（文科）试卷参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分．
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分．
13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想,满分12分.
解:（Ⅰ）当 ，时 ， 2分
又 ，也满足上式，
所以数列{ }的通项公式为 ． 3分
，设公差为 ，则由 成等比数列，
得 ， 4分
解得 （舍去）或 ， 5分
所以数列 的通项公式为 ． 6分
（Ⅱ）解： 8分
数列 的前 项和
10分
. 12分
18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力，处理交汇性问题的能力，以及运算求解能力,满分12分.
解:（Ⅰ）∵ 函数
∴ 1分
3分
∴ ∴函数 的最小正周期为8． 6分
（Ⅱ）依题意将函数 的图像向左平移1个单位后得到函数
…………8分
函数 在 上有两个零点，即函数 与 在 有两个交点，如图所示：
所以 ，即
所以实数 取值范围为 ． 12分
19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等,满分12分.
解:（Ⅰ）记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件A，乙抽取的样本数据中，男同学有4名优秀，记为a，b，c，d，2名不优秀，记为e，f . 1分
乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，则总的基本事件有15个， 2分
事件A包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8个基本事件，所以 = ． 4分
（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得 列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男 4 2 6
女 0 4 4
合计 4 6 10
6分
的观测值 4.444 3.841， 8分
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 9分
（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． 10分
由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 12分
20．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力,满分12分.
解：（Ⅰ）如图，连接ED，
∵ 底面 且 ，∴ 底面
∴
∵
∴ 面 …………………………………………1分
∴ ………2分
3分
∴ ． 5分
（Ⅱ ）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 6分
∵EA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥EA. 7分
又AB∩EA＝A，∴BC⊥平面EAB. 8分
又∵BC⊂平面EBC，
∴平面EAB⊥平面EBC. 10分
（Ⅲ）取线段DC的中点 ；连接 ，则直线 即为所求．…………………………………………………11分
图上有正确的作图痕迹………………………………12分
21. 本试题主要考查了点到直线的距离，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，平面向量的应用，均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分12分．
解: (Ⅰ) ， 2分
∵直线 ：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，
∴ ，解得 ，则a2=4. 4分
故所求椭圆C的方程为 . 5分
（Ⅱ）在 轴上存在点 ，使得 是以GH为底边的等腰三角形.……6分
理由如下：
设 的方程为 （ ），
由
因为直线 与椭圆C有两个交点，所以
所以 ，又因为 ，所以 .
设 ， ，则 . 7分
.
=
.
由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则 . 8分
所以 .
故 .
即
因为 ，所以 .所以 .
设 ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，所以
， 10分
所以 11分
（若学生用基本不等式求解无证明扣1分）
又因为 ，所以 0. 所以 ，.
故存在满足题意的点 （m,0）且实数 的取值范围为： . 12分
22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分.
解：（I） 1分
当 时 ， 在（0，+∞）单调递增. 2分
当m>0时，由 得
由 得0<x<
由 得x> 4分
综上所述：当 时， 单调递增区间为（0，+∞）.
当m>0时， 单调递增区间为（0， ），单调递减区间为（ ，+∞）. 5分
（Ⅱ）若m= , ,对 都有 成立等价于对 都有 6分
由（I）知在[2,2 ]上 的最大值 = 7分
函数 在[2,2 ]上是增函数，
=g(2)=2- , 9分
由2- ，得 ，又因为 ，∴ ∈
所以实数 的取值范围为 。 10分
（Ⅲ）证明： 令m= ，则
由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
，（当x=1时取“=”号）
11分
< 12分
令S= ……………………①
2S= ……②
①-②得-S=
S=
（ ） 14分
