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利润 （万元／件） 0.2 0.4
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？
知识点考察：①二元一次不等式组的应用，②二次函数的性 质。
能力考察：①数学建模，②逻辑思维能力，③运算能力。
分析：根据题目的已知条件建立不等式组的数学模型和一次函数的数学模型。
解：设生产A种产品X件，则B种产品为50-X件，
根据题意有：
不等式组的解集为： ，而 为整数，∴ =17或18或19。
生产方案如下：①甲17件，乙33件；②甲18件，乙32件；
③甲19件，乙31件。
设利润为W，则 ，
∵-0.2＜0，∴W随X的增大而减小，∴当X=17时，W最大=-0.2×17+20=16.6
点评：根据题目中的“不超过”和“超过”建立不等式组的数学模型是解决问题的关键 。
六、(本大题2个小题，每小题8分，满分16分)
（1）某市把中学生学习情绪的自我控制能力分为四个等级，即A级：自我控制能力很强；
B级；自我控制能力较好；C级：自我控制能力一般；D级：自我控制能力较差。通过对
该市农村中学的初中学生学习情绪的自我控制能力的随机抽样调查，得到下面两幅不完整
的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题。
（1）在这次随机抽样调查中，共抽查了多少名学生？
（2）求自我控制能力为C级的学生人数；
（3）求扇形统计图中D级所占的圆心角的度数；
（4）请你估计该市农村中学60000名初中学生中，学习情绪自我控制能力达B级及以上
等级的人数是多少？
知识点考察：①条形统计图，②扇形统计图，③比例分配，④用样本去估计总体。
能力考察：对统计图的观察、思考和处理能力。
分析：把两个统计图结合起来观察、思考和分析。
解：（1）抽查学生人数= （人）
（2）自我控制能力为C级的学生人数= （人）
（3）扇形统计图中D级所占的圆心角的度数=360º×0.18=64.8º
（4）学习情绪自我控制能力达B级及以上 等级的人数=60000×0.58
=34800（人）
点评：不完整的两个统计图对已知条件具有互补性。
（2）如图8，已知AB=AC，∠BAC=120º，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，
①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，
求证：（1）AC是⊙O的切线；
（2）四边形BOAD是菱形。
知识点考察：①圆的切线的判定，②等腰三角形的性质，
③等边三角形的性质，④三角形内角和，
⑤平行线的性质，⑥垂直的定义，
⑦菱形的判定。
能力考察：① 观察能力，②逻辑推理能力，③书写表达能力。
分析：求证AC是⊙O的切线，则证OA⊥AC，很显然要运用圆的切线的判定定理。
要证四边形BOAD是菱形，先证BOAD为平行四边形，再证一组邻边相等。
证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120º，
∴∠ABC=∠C=30º
而OB=OA，∴∠BAO=∠ABC=30º，
∴∠CAO=120º-30º=90º
∴ OA⊥AC，而OA为⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线。
（2）连OD，∵AD∥BC
∴ ∠DAB=∠ABC=30º，
∴∠DAO=60º
而OA=OD，∴△OAD为等边三角形，
∴OB=OA=AD，
又∵AD∥BC，∴ADBO为平行四边形，
且OA=OB
∴四边形BOAD是菱形。
点评：这是一个平面几何的综合题，主要集中在圆的切线的判定定理的运用，特殊四
边形的判定这两个方面，必须搜集、整理题目的已知条件形成清晰的思路，还
要注意推理的严谨性和完整性。
19、(本大题2个小题，每小题10分，满分20分)
25、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线
BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图9：当P在BC的延长线上时，如图10）
（1）请从图9，图10中任选一图证明下面结论：
①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON
(2) 设AB=4，BP= ，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积 与 的函数关系。
知识点考察：①正方形的性质，②三角形外角和定理，③全等三角形的判定，
④两线垂直的判定，⑤多边形的面积的分解，⑥函数解析式的确定，
⑦分段函数，⑧点到直线的距离。
能力考察：①观察能力，②逻 辑思维与推理能力，③书写表达能力，④综合运用知识的能
力，⑤分类讨论的能力。
分析：对于图9，证明线段相等，一般情况下找全等。根据 BN，CP的分布情况，
可以观察△CNB和△DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN
和△DBP，证明AN=BP，从而有BN=CP。至于以O、P、B、N为顶点的四边
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