《高等数学》考试大纲
微积分部分(约占85%)
一、函数、极限、连续
1.考试内容
函数的概念及表示法, 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性, 反函数,隐函数,分段函数,基本初等函数的性质及其图形,复合函数,初等函数,简单应用问题的函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左极限与右极限,无穷小和无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,等价无穷小代换定理,极限的四则运算,极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则, 两个重要极限。
函数连续的概念,函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质。
2.考试要求
(1)理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立简单应用问题中的函数关系。
(2)了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
(3)理解复合函数及分段函数的概念,了解隐函数及反函数的概念。
(4)掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。
(5)了解数列极限和函数极限(包括左极限和右极限)的概念。
(6)理解无穷小的概念和基本性质,掌握无穷小的比较方法,掌握等价无穷小代换定理求极限方法,了解无穷大的概念及其无穷小的关系。
(7)了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限四则运算法则,掌握并会应用两个重要极限。
(8) 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
(9)了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)及其简单应用。
二、一元函数微分学
1.考试内容
导数的概念,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系,导数的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数和隐函数的导数,参数方程的导数,高阶导数, 微分的概念和运算法则.
罗尔定理和拉格朗日中值定理及其应用,洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性, 函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平渐近线与垂直渐近线) 函数图形的描绘,函数的最大值和最小值。
2.考试要求
(1)理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,理解导数的几何意义。
(2)掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,掌握反函数与隐函数求导法,掌握取对数求导法,掌握参数方程的导数(一阶导数)。
(3)了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。
(4)了解微分的概念,导数与微分之间的关系,会求函数的微分。
(5)理解罗尔定理和拉格朗日中值定理、掌握这两个定理的简单应用。
(6)会用洛必达法则求极限。
(7)掌握函数单调性的判别方法及其应用,掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题。
(8)会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和水平渐近线与垂直渐近线。
(9)掌握函数作图的基本步骤和方法,会作简单函数的图形。
三、一元函数的积分学
1.考试内容
原函数和不定积分的概念,不定积分的基本性质,基本积分公式,定积分的概念和基本性质,定积分中值定理,积分上限的函数及其导数,牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式,不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法,广义积分,定积分的应用。
2.考试要求
(1)理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的两个换元积分法和分部积分法
(2)了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式,以及定积分的换元积分法和分部积分法。
用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。
(4)了解广义积分的概念,会计算简单的广义积分。
四、多元函数微积分学
1.考试内容
多元函数的概念,二元函数的几何意义, 有界闭区域上二元连续函数的性质, 多元函数的偏导数的概念与计算,多元复合函数的求导法与隐函数求导法,二阶偏导数, 全微分,多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值, 二重积分的概念、基本性质和计算。
2.考试要求
(1)了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义。
(2)了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
(3)了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元抽象的复合函数一阶偏导数、具体的多元函数二阶偏导数,会求全微分,会求隐函数的一阶偏导数。
(4)了解多元函数的极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,会求解一些简单的应用题。
(5)了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分(直角坐标、简单的极坐标)的计算方法。
五、常微分方程
1.考试内容
常微分方程的基本概念,变量可分离的微分方程的解,一阶线性微分方程的解,二阶常系数线性微分方程通解。
2.考试要求
了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法。
3.了解二阶常系数线性微分方程通解。
4.会利用微分方程求解简单应用题。
线性代数部分(约占15%)
一、行列式
1.考试内容
行列式的概念和基本性质,行列式按行(列)展开定理。
2.考试要求
(1)了解行列式的概念,掌握行列式的性质。
(2) 会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算较低阶行列式的值。
二、 矩阵
1.考试内容
矩阵的概念,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,方阵的幂,方阵乘积的行列式,矩阵的转置, 逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充分必要条件,伴随矩阵,矩阵的初等变换,矩阵等价概念,矩阵的秩,对角分块矩阵及其运算。
2.考试要求
(1)理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义,了解对称矩阵,了解正交矩阵的定义和性质。
(2)掌握矩阵的线性运算、乘法、以及它们的运算规律,掌握矩阵转置的性质,了解方阵的幂,掌握方阵乘积的行列式的性质。
(3)理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。
(4)了解矩阵的初等变换概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。
(5)了解矩阵等价概念。
(6)了解分块矩阵的概念,掌握对角分块矩阵的运算法则。
三、向量向量组线性关系
1.考试内容
向量的概念,向量的线性组合和线性表示,向量组等价概念,向量组的线性相关与线性无关,向量组的极大线性无关组,向量组的秩,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。
2.考试要求
了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则。了解向量的线性组合和线性表示,了解向量组等价概念。理解向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。
四、 线性方程组
1.考试内容
线性方程组的克莱母(又译:克拉默)(Cramer)法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解
2.考试要求
了解克莱母法则解线性方程组。掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。了解齐次线性方程组的基础解系的概念,了解握齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。了解非齐次线性方程组解的的结构及通解的方法。了解初等行变换求解线性方程组的方法。掌握齐次线性方程组有唯一解(只有零解)和有无穷多解(有非零解)的充分必要条件。
五、矩阵的特征值和特征向量
1.考试内容
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质,相似矩阵的概念及性质,矩阵可相似对角矩阵的充分必要条件及相似对角矩阵。
2.考试要求
(1)了解矩阵的特征值、特征向量的概念,了解矩阵特征值的性质,了解求矩阵特征值和特征向量的方法。
(2)了解矩阵相似的概念,了解相似矩阵的性质,了解矩阵可相似对角矩阵的充分必要条件,了解将矩阵化为相似对角矩阵的方法。
六、二次型
1.考试内容
二次型及其标准形,用配方法化二次二次型的矩阵成标准形,二次型的矩阵,正交变换法化二次型为标准形,正定二次型。
2.考试要求
(1)了解二次型的概念,能写出二次型的矩阵。
(2)了解利用正交变换法化二次型为标准形。
(3)了解二次型正定性判别法。
试卷结构
试卷满分: 100分
内容比例:微积分 约80% 线性代数 约15%
题型比例:填空题15% 选择题15% 解答题(包括证明)约70%
参考书目:
1.《高等数学》上下册,同济大学应用数学系编(第四版、或五版、或六版),高等教育出版社出版。
2.《线性代数》,同济大学应用数学系编(第三版、或四版),高等教育出版社出版。
3.含考试大纲内容的相关教材。