松原实验高中 2016年三校联合模拟考试
文科数学能力测试
长春十一高中
东北师大附中
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若实数数列： 成等比数列，则圆锥曲线 的离心率是（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或
4．函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天每天日平均温度不低于 ”，现有甲、乙、丙三地连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位 ）
①甲地： 个数据的中位数为 ，众数为 ；
②乙地： 个数据的中位数为 ，平均数为 ；
③丙地： 个数据中有一个数据是 ，平均数为 ，方差为 .则肯定进入夏季的地区有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3
7．已知条件 ： ，条件 ：直线 与圆 相切，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．平面 截球 所得的截面圆的半径为 ，球心 到平面 的距离为 ，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．若如图所示的程序框图输出的 是 ，则条件①可为（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数 的图象如图所示，则 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线交双曲线右支于点 ，切点为 ， 的中点 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数 定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：
①当 时， ②函数 有 个零点
③ 的解集为 ④ ，都有 ，
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
13．向量 , , ，则向量 与 的夹角为 .
14．已知 ， ，那么 .
15．若 满足条件 ，目标函数 的最小值为 .
16．若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ，空集 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 .则称 是集合 上的一个拓扑．已知集合 ，对于下面给出的四个集合 :
① ; ② ;
③ ; ④ .
其中是集合 上的一个拓扑的集合 的所有序号是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，已知
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ，求 .
18. （本小题满分12分）
如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱锥 组合而成， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）求正四棱锥 的高 ，使得该四棱锥的体积是三棱锥 体积的4倍.
19. （本小题满分12分）
甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的 项预赛成绩的茎叶图记录如下：
(Ⅰ)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
(Ⅱ)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
20. （本小题满分12分）
椭圆 与 的中心在原点，焦点分别在 轴与 轴上，它们有相同的离心率 ，并且 的短轴为 的长轴， 与 的四个焦点构成的四边形面积是 .
（Ⅰ）求椭圆 与 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上非顶点的动点， 与椭圆 长轴两个顶点 ， 的连线 ， 分别与椭圆 交于点 ， .
（1）求证：直线 ， 斜率之积为常数；
（2）直线 与直线 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；
若不是，说明理由.
21. （本小题满分12分）
设函数 ，（ ）
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 ， 时，求证：
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线， 为切点，割线 与圆 交于 ， ， ， 为 中点， 的延长线交圆 于点 ，证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 的参数方程为 ,( 为参数).以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 .
（Ⅰ）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 的两个交点为 ， ，求 的值.
24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
已知函数 ，
（Ⅰ）若 ，解不等式： ；
（Ⅱ）若 恒成立，求 的取值范围.
松原实验高中 2016年三校联合模拟考试
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参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D B C A B B D A C
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16. ②④
三、解答题
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件： ，
由于： ，所以： ，
即： ………….5分
（Ⅱ） ，所以： ，………….6分
， ………….8分
又： ，
由 ，
所以： ，所以： ………….12分
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：直三棱柱 中， 平面 ，
所以： ，又 ，
所以： 平面 ， 平面 ，
所以：平面 平面 ………….6分
（Ⅱ） 到平面 的距离
所以：
而： ，所以 ………….12分
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)记甲被抽到的成绩为 ,乙被抽到的成绩为 ,用数对 表示基本事件：
基本事件总数 …………………………5分
记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：
事件 包含的基本事件数是 …………………………6分
所以 …………………………………8分
（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：
， ， ，
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适………………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意 ，设 ： ， ： ，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积 ，解得： ，
所以椭圆 ： ， ： ………….4分
（Ⅱ）（1）设 ，则 ， ，
， ………….6分
所以： ，
直线 ， 斜率之积为常数 ………….8分
（2）设 ，则 ，
， ，
所以： ， 同理： ………….10分
所以： ，由 ， ，结合（1）有
………….10分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）函数 的定义域为 ， 当 时， ，…………3分
令： ，得： 或 ，所以函数单调增区间为： ，
，得： ，所以函数单调减区间为： ， …………5分
（Ⅱ）若证 ， 成立，只需证：
即： 当 时成立…………6分
设
∴ ，显然 在 内是增函数
且 ，
∴ =0在（1,2）内有唯一零点 ，使得： ，
且当 （1， ）， <0；
当 （ ，+ ）， >0.
∴ 在（1， ）递减，在（ ，+ ）递增…………10分
= =
∵ ∴
∴ ∴ 成立…………12分
22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲
（Ⅰ）证明：连接 ， ,由题设知 ，故
因为： ， ，
由弦切角等于同弦所对的圆周角： ，
所以： ，从而弧 弧 ，因此： ………5分
（Ⅱ）由切割线定理得： ，因为 ，
所以： ，
由相交弦定理得：
所以： ………10分
23.（本题满分10分）选修4——4坐标系与参数方程
（Ⅰ）由极值互化公式知：点 的横坐标 ，点 的纵坐标
所以 ；消去参数 的曲线 的普通方程为： ………5分
（Ⅱ）点 在直线 上，将直线的参数方程代入曲线 的普通方程得：
，设其两个根为 ， ，所以： ， ，
由参数 的几何意义知： .………10分
24. （本题满分10分）选修4——5 不等式选讲
（Ⅰ）当 时，
解得： ，所以原不等式解集为 ………5分
（Ⅱ） ，若 恒成立，
只需：
解得： 或 ………10分
吉林省东北师范大学附属中学、长春十一高和松原实验中学2016届高三三校联考试题 数学（文）.doc
