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2013年江西省 联 合 考 试
数学（文科）
命题人：上饶县中 王迎曙 萍乡中学 李文强
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若复数 ( 为虚数单位), 是 的共轭复数,则 的实部为
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
3.以向量 为方向向量的直线 平分圆 ，则直线 的方程为
A. B.
C. D.
4. 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
5. 已知实数 ,则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 ，则 等于
A． B． C． D．
7. 若实数 ， 满足条件 ，则目标函数 的最大值为
A.6 B.5 C.4 D.3
8. 如图，平面 ⊥平面 ， ， 是 内不同的两点， 是 内不同的两点，且 直线 ， 分别是线段 的中点．下列判断正确的是
A．当 时， 两点不可能重合
B． 两点可能重合，但此时直线 与 不可能相交
C．当 与 相交，直线 平行于 时，直线 可以与 相交
D．当 是异面直线时，直线 可能与 平行
9. 设 ，定义 为 的导数，即 ， ，若 的内角 满足 ，则 的值是
A. B. C. D.
10．如图所示，在 中， 点 以 的速度沿 的路径向 移动，点 以 的速度沿 边向 移动，当点 到达 点时， 两点同时停止移动.记 的面积关于移动时间 的函数为 ，则 的图像大致为
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 不等式 的解集是 .
12．下图的算法中，若输入 ，输出的是 .
13. 等比数列 中 ，公比 ，记 （即 表示数列 的前 项之积）， ， ， ， 中值为正数的个数是___________.
14. 双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于 .
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 ； ② 的最小正周期是 ；
③ 在区间 上是增函数； ④ 的图象关于直线 对称．
其中正确的结论是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
如图， 是直角 斜边 上一点， ，记 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 ．
17.（本小题满分12分）
城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：
组别 候车时间 人数
一
2
二
6
三
4
四
2
五
1
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18．(本小题满分12分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求 及 ；
（2）若数列 的前 项和 ，试证明不等式 成立.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱 中,侧棱与底面垂直, , ,点 分别为 和 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)求三棱锥 的体积;
(3)证明: 平面 .
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系 上取两点 ,再取两个动点 ,且 .
(1)求直线 与 交点的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的射线，与曲线 分别交于 两点.证明点 到直线 的距离为定值.并求弦 长度的最小值.
21．（本小题满分14分）
已知函数 ，
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围．
江西省2013届八校联考数学试卷（文科）
参 考 答 案
一、选择题：（每题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B D B B A A
二、填空题（每题5分，共25分）
11． 12． 13． 14． 15．③④
三、解答题（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.解: （1）证明： ， ， …………………1分
， …………………3分
…………………5分
（2）解：在 中,
， ………………………6分
. ………………………8分
， ， ………………………10分
. …………12分
17.解: （1） 分钟． ……3分
（2）候车时间少于10分钟的概率为 ， ………………………………4分
所以候车时间少于10分钟的人数为 人． ………………………………6分
（3）将第三组乘客编号为 ，第四组乘客编号为 ．从6人中任选两人有包含以下基本事件： ， ，
， ， ， ………………………………10分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为 ． ……………………………12分
18.解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 .
∵ ， ，∴ ………………2分
解得 ………………4分
∴ , , . ………………6分
（2）设 , ； ∵ ， ∴
∴ ………………9分
= = …………11分
又 ，
综上所述：不等式 成立. …………12分
19.解: 在 中，
在 中，
.
,
即 为等腰三角形.
又点 为 的中点,
. ……2分
又 四边形 为正方形, 为 的中点,
, 平面 , 平面 …………4分
平面
（2）由(1)的证明可得:
三棱锥 的体积
…………7分
(3)取 中点 ,连 , …………8分
而 分别为 与 的中点, 平面 , 平面
平面 ,同理可证 平面 …………9分
又
平面 平面 . …………10分
平面 ， …………11分
平面 . …………12分
20．解：（1）依题意知直线 的方程为： ① ……………1分
直线 的方程为： ② ……………2分
设 是直线 与直线 的交点，①×②得： ③……3分
将 代入③整理得 ………………4分
不与原点重合
点 不在轨迹 上 轨迹 的方程为 ……………5分
(2) 设 ，若直线AB的方程为 …………………7分
与椭圆 联立消去 并化简得
由根与系数的关系得： ………………………8分
即：
整理得
所以O到直线AB的距离:
若直线AB的方程为 ,易得O到直线AB的距离也为
故, 点 到直线 的距离为定值.……………10分
，
当且仅当 时取“=”号。
由直角三角形面积公式得:
…………………12分
即：当OA=OB时，弦AB的长度的最小值是 ………………13分
21.解：（Ⅰ）函数 的定义域为{ 且 } ………………… 1分
且
∴ 为偶函数 ………………… 3分
（Ⅱ）当 时， ………………… 4分
若 ，则 ， 递减；
若 ， 则 ， 递增． ………………… 6分
再由 是偶函数，得 的
递增区间是 和 ；
递减区间是 和 ． ………………… 8分
（Ⅲ）方法一：
要使方程 有实数解，即要使函数 的图像与直线 有公共点．
函数 的图象如图．………………… 9分
先求当直线 与 的图象相切时 的值．
当 时，
设切点为 ，则切线方程为
，将 代入，得
即 （*） ……………… 10分
显然， 满足（*）
而当 时， ，
当 时，
∴（*）有唯一解 ………………… 12分
此时
再由对称性， 时， 也与 的图象相切，………………… 13分
∴若方程 有实数解，则实数 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．
………………… 14分
方法二：
由 ，得： ………………… 9分
令
当 ， …………………10分
显然
时， ， 递减
时， ， 递增
∴ 时， ………………… 12分
又 ， 为奇函数
∴ 时，
∴ 的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞） ………………… 13分
∴若方程 有实数解，则实数 的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．
………………… 14 分
