， ………13分
（ⅱ）当 时，由 知
，
综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
………16分
（注：仅给出“ 时， ； 时， ”得2分．）
20．设 是定义在 的可导函数，且不恒为0，记 ．若对定义域内的每
一个 ，总有 ，则称 为“ 阶负函数”；若对定义域内的每一个 ，总有 ，
则称 为“ 阶不减函数”（ 为函数 的导函数）．
（1）若 既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数” ，如果存在常数 ，使得 恒成立，试判断 是
否为“2阶负函数”？并说明理由．
解：（1）依题意， 在 上单调递增，
故 恒成立，得 ， ………2分
因为 ，所以 ． ………4分
而当 时， 显然在 恒成立，
所以 ． ………6分
（2）①先证 ：
若不存在正实数 ，使得 ，则 恒成立． ………8分
假设存在正实数 ，使得 ，则有 ，
由题意，当 时， ，可得 在 上单调递增，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
故必存在 ，使得 （其中 为任意常数），
这与 恒成立（即 有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当 时， ，即 ； ………13分
②再证 无解：
假设存在正实数 ，使得 ，
则对于任意 ，有 ，即有 ，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以 无解，
综上得 ，即 ，
故所有满足题设的 都是“2阶负函数”． ………16分
南通市2013届高三第三次调研测试
数学附加题参考答案及评分建议
21．【选做题】
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙ 的半径为3，两条弦 ， 交于点 ，且 ， ， ．
求证：△ ≌△ ．
证明：延长 交⊙ 与点 ， ， ………2分
由相交弦定理得
，
………6分
又 ， ，
故 ， ， ………8分
所以 ， ，
而 ，
所以△ ≌△ ． ………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 不存在逆矩阵，求实数 的值及矩阵 的特征值．
解：由题意，矩阵 的行列式 ，解得 ， ………4分
矩阵 的特征多项式
， ………8分
令 并化简得 ，
解得 或 ，
所以矩阵 的特征值为0和11． ………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ， ，其中 ．设直线 与
的交点为 ，求动点 的轨迹的参数方程（以 为参数）及普通方程．
解：直线 的方程为 ， ①
直线 的方程为 ， ② ………2分
由①②解得，动点 的轨迹的参数方程为 （ 为参数，且 ）， ………6分
将 平方得 ， ③
将 平方得 ， ④ ………8分
由③④得， ． ………10分
（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“ ”扣1分．）
D．选修4—5：不等式选讲
已知 ， ， ．求证： ．
证明：先证 ，
只要证 ，
即要证 ，
即要证 ， ………5分
若 ，则 ， ，所以 ，
若 ，则 ， ，所以 ，
综上，得 ．
从而 ， ………8分
因为 ，
所以 ． ………10分
22．【必做题】
设 且 ，证明：
．
证明：（1）当 时，有 ，命题成立． ………2分
（2）假设当 时，命题成立，
即
成立， ………4分
那么，当 时，有
．
+
．
所以当 时，命题也成立． ………8分
根据（1）和（2），可知结论对任意的 且 都成立． ………10分
23．【必做题】
下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 ，
， ， ．游戏规则如下：
① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；
② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；
（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是
否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积
分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．
设某人参加该游戏一次所获积分为 ．
（1）求 的概率；
（2）求 的概率分布及数学期望．
解：（1）事件“ ”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分
后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，
所以 ； ………4分
（2） 的所有可能取值为0，10，40，100，
由（1）知 ，
又 ，
，
，
所以 的概率分布为：
0 10 40 100
………7分
因此， （分）． ………10分
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