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2015广东揭阳市高三学业水平考试数学理试题及答案

来源:3773.高考 2015-1-26 9:02:03

绝密★启用前
揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:样本数据 的标准差, ,
其中 表示样本均值.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,则
A.             B.             C.            D. 
2.设 为虚数单位,复数 ,则 的共轭复数为
A.                B.               C.              D.
3.已知命题 :四边形确定一个平面;命题 :两两相交的三条直线确定一个平面.则下列命题为真命题的是
A.             B.           C.          D.
4.已知数列 的前n项和 ,则 的值为
A.9                 B.18              C.21               D.
5.已知 , , 与 的夹角为120°,则 的值是.
A.-84               B.144             C.-48               D.-72
6.若变量 满足约束条件 ,且 ,则 的最大值为
A.18 B.2 C.9 D.
7.图1是某小区100户居民月用电量(单位:度)的频率分布直方图,记月用电量在  的用户数为A1,用电量在 的用户数为A2,……,以此类推,用电量在 的用户数为A6,图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图.根据图1提供的信息,则图2中输出的s值为
A.82                B.70              C.48               D.30

 

 

 

 

 


8.已知函数 的定义域为R,若 、 都是奇函数,则
A.  是奇函数   B.  是偶函数   C.  是偶函数    D. 是奇函数
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9-13题)
9.一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________.
10.函数 的图象与 轴相交于点 ,则曲线在
 处的切线方程是              .
11.在 的二项展开式中,常数项等于           .
12.抛物线 上到焦点的距离等于6的点的坐标为       .

13.在区域 中随机取一点 ,则满足 的概率为            .
(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系 中,曲线 与
的交点的极坐标为          .
15. (几何证明选讲选做题)
如图4,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边BC=24cm,BC边上的高
AD=12cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两
个顶点分别在AB、AC上,则这个正方形零件的面积为          cm2.
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在 中,内角A,B,C的对边分别为 且 ,已知 的面积 , , .
(1)求 和 的值;
(2)求 的值.
17.(本小题满分12分)
在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用 表示编号为  的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
编号
1 2 3 4 5
成绩
70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩 ,及这6位同学成绩的标准差 ;
(2)从这6位同学中,随机地选3位,记成绩落在(70,75)的人数为 ,
求 的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图5,四棱锥 中,底面 为矩形,
 平面 ,E为PD的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)已知 , ,设EC与平面ABCD所成的角为 ,
且 ,求二面角 的大小.                               图5
19.(本小题满分14分)
已知函数 ,数列 满足 .
(1)求 的值;
(2)求数列 的通项公式;
(3)证明: .

20.(本小题满分14分)
已知双曲线 的焦点分别为 ,且双曲线 经过点 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)设O为坐标原点,若点A在双曲线C上,点B在直线 上,且 ,是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切?若存在,求出该圆的方程,若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分14分)
若实数 、 、 满足 ,则称 比 更接近 .
(1)若 比1更接近0,求 的取值范围;
(2)对任意两个正数 、 ,试判断 与 哪一个更接近 ?并说明理由;
(3)当 且 时,证明: 比 更接近 .
 

 

 

揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题:DACB  CBAD
解析:7.由图2知,输出的 ,由图1知  ,故s=100-18=82,选A.
8.由 、 都是奇函数得 , ,从而有 , ,故有 
 ,即 是以4为周期的周期函数,因 为奇函数,8也是函数 的周期,所以 也是奇函数.选D.
二、填空题:9. ;10. ;11.  ;12. ;13. ;14. ;    15. 64.
解析:13.如图,满足 的点 落在图中阴影部分,根
据对称性易得其面积为 ,故所求概率 .
或 .
三、解答题:
16.解:(1)∵ >0   ∴   ∴ --------------1分
由 ,得 -------------------①-------------------------------3分

由余弦定理得: ,∴ ---------------②-------------5分
由①②结合 ,解得 .-----------------------------------------------7分
(2)由正弦定理知 ,∴  ,---------------------------9分
∵ ,∴ ,
∴ ,---------------------------------------------------10分
∴  ------------------------------------------11分
  .---------------------------------------------------12分
17.解:(1)由 ,---------------------------------2分
解得 ,-------------------------------------------------------------------3分
这6位同学成绩的标准差: .------6分
(2)这6位同学中,成绩落在(70,75)的有编号为3、5两位同学,
故 的可能取值为:0,1,2 . -----------------------------------------------------7分
且 ,-----------------------------------------------------------8分
 ,-----------------------------------------------------------9分
  ,--------------------------------------------------------10分
 
0 1 2
 
 
 
 

∴ 的分布列为------------------------------11分

                                             

 的数学期望: .---------------------------------------12分


18.解:(1)证明:连结BD交AC于点O,连接EO.
∵ABCD为矩形,∴O为BD的中点-------------------1分
又E为PD的中点,∴EO∥PB. ----------------------2分
∵EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
∴PB∥平面AEC.----------------------------------3分
(2)过点E作EF//PA交AD于F,连结FC,
∵ 平面 ,
∴EF⊥平面 ,且
∴ -------------------------------------4分
由 得 ---------------------5分
则 ,------------------------6分
解法一:
过D作 交AE于点Q,连结CQ,
∵ 面 ,∴面 面 ,----------7分
又面 面 ,
    ∴ 面 --------------------------------8分
 面  ,且
 面 ,故 ---------------------------------------------------9分
∴ 是二面角 的平面角. -----------------------------------------10分
∵ , ,∴
又∵E为PD的中点,∴ --------------------------------------11分
在 中,
∴ ,-----------------------------------------------13分

 ,即二面角 的大小为 .---------------------------------14分
【解法二:
以A为原点,AB、AD、AP所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,-7分
则 , , , , ,----------------------8分
故 ,
 , ,-----------9分
由条件可知, 为平面ADE的一个法向量,------10分
设平面AEC的一个法向量为 ,则由
 ,得 ,取 ,得 ,
∴ ---------------------------------------------------------------12分
设二面角 的大小为 ,则  ,
 ,即二面角 的大小为 .-------------------------------------14分】
19.解:(1)由 得
由 得
解得    ,----------------------------------------------2分
 -----------------------------------------------3分
 ---------------------------------------------------------4分
(2)解法一:由 且 得: ,-------5分
即 ,----------------------------------------------------------7分
∵     ∴ ,------------------------------------8分
∴数列 是以 为首项,公比为 的等比数列,
∴ , .-----------------------------------------------9分
【解法二:由 , 猜想 .---------------------6分
下面用数学归纳法证明.
①当n = 1猜想显然成立;
②假设当n = k( )结论成立,即 ,
则当 时, ,
即当 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分
综合①、②可知猜想对 都成立. 即 -------------------------9分】
(3)证法一:由 得 ,
∵ -------------------------------------11分
∴ ----------------------------12分
∴ .
∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分
以下其它解法请参照给分。
【证法二:
 
 
 .】
【证法三:当 时,不等式显然成立,
当 时,令 
 
 .
综上得命题得证.】
【证法四:令 下面用数学归纳法证明,
①当 时,结论显然成立
②假设当 时,结论成立,即 ,
当 时,
左边=
  
  
  
所以当 时,结论也成立
综合①、②可知 对 都成立.】
20.解:(1)解法一:依题意知双曲线C的焦点在x轴,设其方程为
-------------------------------------------------------------------------------1分
∵点 在双曲线C上,
∴ 
∴   ----------------------------------------------------------------------3分
又 ,∴ ,
∴所求双曲线C的方程为 ----------------------------------------------4分
解法二:依题意知双曲线C的焦点在x轴,设其方程为 ---------1分
∵点 在双曲线C上,
∴ ,--------------------------------------------①
又 ,---------------------------------------------②
②代入①去分母整理得: ,又 ,解得  ----------3分
∴所求双曲线C的方程为  ---------------------------------------------4分

(2) 设点A,B的坐标分别为 , ,其中 或 .-----------------5分
当 时,直线AB的方程为 ,
即 -------------------------------------------6分
若存在以点O为圆心的定圆与AB相切,则点O到直线AB的距离必为定值,
设圆心O到直线AB的距离为 ,则 .----------------------7分
∵ ,  ∴ ,
∵          ∴ ,------------------------------------------------8分
又 ,
故 
= ----------------------------------------------11分
此时直线AB与圆 相切,-----------------------------------------------12分
当 时, ,代入双曲线C的方程并整理得 ,
即 ,解得 ,
此时直线AB: .也与圆 也相切.----------------------------------13分
综上得存在定圆 与直线AB相切.--------------------------------------14分

21.解:(1)依题意可得  ------------------------------------------------1分
  或
∴ 的取值范围为 ---------------------------------------------3分
(2)解法一:∵  ---------------5分
  ---------------------------------------------6分

∴ 比 更接近 ;--------------------------------------------------7分
【解法二:∵对任意两个正数a、b,有  ,------------------4分
∴ 
 即 ------------------------------------------------6分
∴ 比 更接近 ;-------------------------------------------------7分】
(3)令
则 在区间 上单调递减,且
由 得当 时,
∴ 在 上单调递增,且当 时,有 -----------------------8分
①当 时,∵ ≥0, ,

∴ 比 更接近 .--------------------------------------------------------10分
②当 时,
解法一:∵ <0, ,
∴ ----------12分
令 则 当 时,
∴ 在区间 单调递减,当 时, ------------------13分
综上可知,当 时, 即
∴ 比 更接近 .--------------------------------------------------------14分
【解法二:当 时,∵ <0,
∴ -----------------------11分
令 ,则
令 ,解得 ,
∵     ∴ 不合舍去,-------------------------------------------12分
∵   ∴    ∴
∵当 时, 当 时,
∴ 在区间 单调递增,在 单调递减,又
∴当 时, ------------------13分
综上可知,当 时, 即
∴ 比 更接近 .-------------------------------------------------------14分】
其它解法请参照给分.
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