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安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2．对于事件A，P（A）表示事件A发生的概率。则下列命题正确的是
A 如果 ，那么事件A、B互斥
B 如果 ，那么事件A、B对立
C 是事件A、B对立的充要条件
D 事件A、B互斥是 的充分不必要条件
3．把函数 的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的最小值为
A. B. C. D.
4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的
三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．9 B．10
C．11 D．
5．对于平面 和共面的两直线 、 ，下列命题中是真命题的为
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 、 与 所成的角相等，则
6．等比数列 中 ，公比 ，记 （即 表示
数列 的前 项之积）， ， ， ， 中值为正数的个数是
A．1 B． C． D．
7．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数 的实部大于0，虚部不小于0，则复数 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的
８．设集合 ，在 上定义运算 ： ，其中 为 被3除的余数， ，则使关系式 成立的有序数对 总共有
A．１对 B．２对 C．３对 D．４对
9．已知A，B，C，D，E为抛物线 上不同的五点，抛物线焦点为F，满足 ，则
A 5 B 10 C D
10．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是
A 1025 B 1035 C 1045 D 1055
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11. 输入正整数 （ ）和数据 ， ，…， ，
如果执行如图2的程序框图，输出的 是数据 ， ，…， 的平均数，则框图的处理框★中应填写的是___________;
12. 已知函数 为偶函数,其图象与直线y=1的交点的横坐标为 .若 的最小值为 ,则 的值为___________;
13．设 ，则二项式 的展开式中常数项___________;
14．函数 ，若 互不相同，且 ，则 的取值范围是___________;
15．有以下四个命题
① 的最小值是
②已知 , 则
③ 在R上是增函数
④函数 的图象的一个对称中心是
其中真命题的序号是___________ (把你认为正确命题的序号都填上)
三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
16．（本题满分12分）
（1）证明：
（2）三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a，b，C成等差数列，求证 。
17．（本小题12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；
(2)任选3名教师，记 为3人中选择不参加培训的人数，求 的分布列和期望．
18．（本小题12分）如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，
且 ，点 为圆 上一点，且 ．
点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．（本小题13分）已知函数 ，
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围。
20．（本小题13分）数列 的各项均为正值， ，对任意n∈N*，
都成立．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）当k＞7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有 成立．
21（本小题13分）过椭圆C： 外一点A（m，0）作一直线l交椭圆于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为 ，连结 交x轴于点B。
（1） 若 ，求证： ；（2）求证：点B为一定点 。
安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考
数学（理）答案
答案：1。B 2。D 3。B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C
11．
12．
13.
14．（32，35），
15．③ ④
16．解：（1）
（2）由正弦定理得 ，又由（1）可知
由余弦定理得：
所以 。 ………12分
17．（本小题满分12分）
解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件 ，“该教师选择计算机培训”为事件 ，由题设知，事件 与 相互独立，且 ， ． ………1分
（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是
． …………4分
（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是
． …………5分
因为每个人的选择是相互独立的，
所以3人中选择不参加培训的人数 服从二项分布 ， …………6分
且 ， ， …………8分
即 的分布列是
0 1 2 3
0.729 0. 243 0.027 0.001
……10分
所以， 的期望是 ． ………12分
（或 的期望是 ．）
18．解析：（Ⅰ）法1：连接 ，由 知，点 为 的中点，
又∵ 为圆 的直径，∴ ，
由 知， ，
∴ 为等边三角形，从而 ．-----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，-----------------5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ． -----------------6分
（注：证明 平面 时，也可以由平面 平面 得到，酌情给分．）
法2：∵ 为圆 的直径，∴ ，
在 中设 ，由 ， 得， ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ． -----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ， ---------5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ． -----------------6分
法3：∵ 为圆 的直径，∴ ，
在 中由 得， ，
设 ，由 得， ， ，
由余弦定理得， ，
∴ ，即 ． -----------------3分
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ， -----------------5分
由 得， 平面 ，
又 平面 ，∴ ． -----------------6分
（Ⅱ）法1：（综合法）过点 作 ，垂足为 ，连接 ． -----------7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，-----------------9分
∴ 为二面角 的平面角． -----------------10分
由（Ⅰ）可知 ， ，
（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）
∴ ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，即二面角 的余弦值为 ． ---------------12分
法2：（坐标法）以 为原点， 、 和 的方向分别为 轴、 轴和 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分
（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明 ，酌情给分．）
设 ，由 ， 得， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
由 平面 ，知平面 的一个法向量为 ．
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，则 ， ，
∴ ，-----------------10分
设二面角 的平面角的大小为 ，
则 ，
∴二面角 的余弦值为 ．-----------------12分
19．解： 时， ………………2分
时， 单调减， 时， 单调增， ………………4分
所以当 时， 有最小值 ………………5分
（2）由已知，即 时， ………………6分
………………8分
当 即 时， 恒成立，所以 单调增
，即 时满足 恒成立； ………………10分
当 即 时，由 得 ，
所以 时， 单调减，即 时 与题设矛盾，
即 时，不能满足 恒成立。 ………………12分
综上，所求 的取值范围是 。 ………………13分
20． 解：（1）由an+12−1＝4an(an+1)，
得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，
数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，
∴an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴an+1＝(a1+1)•2n−1＝2n，an＝2n−1，
即为数列{an}的通项公式．
∵bn=log2（an+1），
∴bn＝log2(2n−1+1)＝n． ………………6分
（2）求证的的问题即：当k＞7且k∈N*时，对任意 方法一：令 ，则
………………13分
方法二：
方法三（利用定积分放缩同样给分。要作出 大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积）
………………13分
21．证明：（1）连结 ，因为Q与 关于x轴对称，而A在x轴上，
则在 中，AB平分 ，
由内角平分线定理可知： ，
而 ，∵ 同向，故 且 ，
则 ，又P、B、 在同一直线上且 与 同向，
于是有： = 。 ……（6分）
（2）设过A（m，0）的直线l与椭圆C：
与Q关于x轴对称，则 ， 由 及 相减得 ，∴ ，
PQ直线方程： ，而PQ过A（m，0），则有：
，
而 ，同理可求得： 。
下面利用分析法证明： 。
即证： ……①
只需证：
只需证： ，
即证： ……②
而（ ， ）在椭圆上，则 ……③
同理 ……④
由③×④可知②成立，从而①式得证。因此 成立。∴ 。
∴点B为一定点（ ，0）。 ……（13分）
另法：证（1）设直线l过A（m，0）与椭圆交于 ，而 与Q关于x轴对称，则 ，由 ，则 ，
∴ ∴ = 。 ……（6分）
（2）由 ，则 ……①
由 = ，则 ……②
由①×②得 ……③
又 ……④
……⑤
∵ ，由④-⑤• 得 ，
，
……⑥
由③⑥可知 。 ∴ 。
∴点B为一定点（ ，0）。 ……（13分）
