2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（文）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.[来源:学科网]
2．若集合 ，则M∩N _______________.
3．复数 =______________.（ 是虚数单位）
4．已知数列 的前 项和 ，则其通项公式为
5. 已知 ，则
6. 已知 且 ，则复数 对应点在第二象限的概率为 （用最简分数表示）
7．已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为
8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是 .
9．根据右面的框图，打印的 最后一个数据是 .
10．已知数列 是以 为公差的等差数列， 是其前
项和，若 是数列 中的唯一最大项，则数列
的首项 的取值范围是 .
11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白
信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .
12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ， 则 的值是 。
13. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为 ．
14. 已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为周期的偶函数，且当 时， ，若在区间 内，函数 有4个零点，则实数 的取值范围是 ．
二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写 在圆括号内),一律得零分．
15．设z1、z2∈C,则“z +z =0”是“z1=z2=0”的 ( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
16. 若正数a,b,c成公差不为零的等差数列，则 （ ）
（A）lga，lgb，lgc成等差数列 （B）lga，lgb，lgc成等比数列
（C） 成等差数列 （D） 成等比数列
17．函数 的图象为 （ ）
[来源:学科网]
（A） （B） （C） （D）
18. 是△ABC所在平面内的一点，且满足 ，则△ABC的形状一定是 （ ）
（A）正三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）斜三角形
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：三棱锥 中， 底面 ，若底面 是边长为2的正三角形，且 与底面 所成的角为 ．若 是 的中点，求：
（1）三棱锥 的体积；
（2）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值。
[来源:Z_xx_k.Com]
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)
(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列 为等差数列.
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数 ， .
（1）证明：函数 在区间 上为增函数，并指出函数 在区间 上的单调性.
（2）若函数 的图像与直线 有两个不同的交点 ， ，其中 ，求 关于 的函数关系式.
（3）求 的取值范 围.
23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
对于给定数列 ，如果存在实常数 使得 对于任意 都成立，我们称数列 是 “线性数列”．
（ 1）若 ， ， ，数列 、 是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数 ，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列 是“线性数列”，则数列 也是“线性数列”；
（3）若数列 满足 ， ， 为常数 ．求数列 前 项的和．
2014学年第一学期高三数学教学质量检测试卷
参考答案（文）
一、填空题
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
12、 13、 14、
二、选择题
题号 15 16 17 18
答案
三、解答题
19、[解]（1）因为 底面 ， 与底面 所成的角为
所以 ………2分 因为 ，所以 …………4分
………………6分
（2）连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则
所以 为异面直线 与 所成的角 ………………7分
计算可得： ， ， ………………9分
………………11分
异面直线 与 所成的角为 ………………12分
20、【解】（1）由条件得到 ，………………2分
解得 或者 ………………4分[来源:学科网]
， ………………6分
（2） ………………2分+2分+2分=6分
21、证明：(1）∵{ an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+ 1x+ak+2=0
可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ………………2分
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1. ………………4分
(2）原方程不同的根为xk= ………………7分
………………12分
………………14分
22、【解答】（1）证明：任取 ， ，且 ，
，………………2分
.
所以 在区间 上为增函数.
函数 在区间 上为减函数. ………………4分
（2）解：因为函数 在区间 上为增函数，相应的函数值为 ，在区间 上为减函数，相应的函数值为 ，由题意函数 的图像与直线 有两个不同 的交点，故有 ， ………………6分
易知 ， 分别位于直线 的两侧，由 ，得 ，故 ， ，又 ， 两点的坐标满足方程 ，故得 ， ，………………8分
即 ， ， ………………9分
故 .………………10分
(3) 当 时， ，，故 ，………………12分
又 ，因此 ；…………14分
当 时， ， ，从而 ； ……………16分
综上所述， 的取值范围为 . ………………18分
23、【解】（1）因为 则有
故数列 是“线性数列”， 对应的实常数分别为 ． ……………………………2分
因为 ，则有
故数列 是“线性数列”， 对应的实常数分别为 ． ……………………………4分
（2）证明：若数列 是“M类数列”， 则存在实常数 ，
使得 对于任意 都成立，
且有 对于任意 都成立， …………………………………………7分
因此 对于任意 都成立，
故数列 也是“线性数列” …………………………………………9分
对应的实常数分别为 ． ……………………………………………………………10分
（3）因为 则
当 为偶数时，
………………13分
当 为奇数时，
[来源:学科网ZXXK]
………………16分
故数列 前 项的和
………………18分
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