合肥市2015年高三第三次教学质量检测
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 (其中 均为实数, 为虚数单位),则 等于
A.2 B. C.1 D.1或
2.命题“对于任意 ,都有 ”的否定是
A.对于任意 ,都有 B.不存在 ,使得
C.存在 ,使得 D.存在 ,都有
3.若函数 的定义域为集合 ,值域为集合 ,则
A. B. C. D.
4.在等差数列 中,已知 ,则该数列的前11项和 等于
A.33 B.44 C.55 D.66
5.执行如图所示的程序框图,若将判断框内“ ”改为关于 的不等式“ ”且要求输出的结果不变,则正整数 的取值
A.是4 B.是5 C.是6 D.不唯一
6.在极坐标系中,已知点 ,则线段 的长度是
A.1 B. C.7 D.5
7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是
A. B.1
C. D.
8.某校计划组织高一年级四个班开展研学旅行活动,初选了 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有
A.240种 B.204种 C.188种 D.96种
9.在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则 的大小是
A. B. C. D.
10.定义在 上的函数 满足: 且 ,其中 是 的导函数,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.
11.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组,分组区间为 ,由此得到频率分布直方图如图,则这80名教师中年龄小于45岁的教师有 人
12.设
,则
13.在平面直角坐标系中,不等式组 表示的平面区域为 ,直线 将区域 分为左右两部分,记直线 的右边区域为 ,在区域 内随机投掷一点,其落在区域 内的概率 ,则实数 的取值为
14.设点 是抛物线 的焦点,过抛物线上一点 ,沿 轴正方向作射线 轴,若 的平分线 所在直线的斜率为 ,则点 的坐标为
15.已知向量 满足 ,动点 满足 ,给出以下命题: ①若 ,则点 的轨迹是直线; ②若 ,则点 的轨迹是矩形;
③若 ,则点 的轨迹是抛物线; ④若 ,则点 的轨迹是直线;
⑤若 ,则点 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的所有命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 .
(Ⅰ)求 的值
(Ⅱ)设 ,求 的最大值.
17(本小题满分12分)
已知数列 满足 ,(其中 是数列 的前 项和,且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 .
18(本小题满分12分)
已知椭圆 ,过其右焦点 且垂直于 轴的弦 的长度为 .
(Ⅰ)求该椭圆的离心率;
(Ⅱ)已知点 的坐标为 ,椭圆上存在点 ,使得圆 内切于 ,求该椭圆的方程.
19(本小题满分13分)
如图,在多面体 中,四边形 是边长为1的正方形, 平面
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若 在 上取点 ,使 平面 ,求直线 与平面 所成角 的正弦值.
20(本小题满分13分)
某校高三年级研究性学习小组共6人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回,设事件 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;事件 为:在参观的第二个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人.
(Ⅰ)求 及 ;
(Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为 ,则在事件 发生的前提下,求 的概率分布列及数学期望.
21(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)设函数 ,若 对 恒成立,求整数 的最小值.
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