绝密★启用前 试卷类型：A
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科） 2015.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式： ， ，其中 ， 是数据的平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.平面向量 ， ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
3.已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
4.命题 ， ，则 为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5.已知直线 ，平面 ，则下列能推出 的条件是
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知某路口最高限速 ，电子监控测得连续 辆汽车的速
度如图1的茎叶图（单位： ）．若从中任取 辆，
则恰好有 辆汽车超速的概率为
A. B. C. D.
7.将函数 的图象向右平移 个单位，得到的图象关于原点对称，则 的
最小正值为
A． B． C． D．
8.已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，若其渐近线与圆 相切，则
此双曲线的离心率等于
A． B. C. D．
9.如图2所示的程序框图的功能是求 的值，则框图中的①、②两处应
分别填写
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
10.定义在 上的函数 ， 单调递增， ，若对任意 ，存在 ，使得 成立，则称 是 在 上的“追逐函数”.已知 ，下列四个函数：① ；② ；③ ；④ .其中是 在 上的“追逐函数”的有
A． 个 B. 个 C． 个 D． 个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为
必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．
11.等差数列 中， ，则 ．
12.若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为 的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线 ： （ 为参数）与曲线 ： （ 为参数）相交于 、 两点，则 _________．
15．（几何证明选讲选做题）如图4， 、 是⊙ 的两条
切线，切点分别为 、 ．若 ， ，
则⊙ 的半径为 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在 中，已知 , .
（1）求 与 的值；
（2）若角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，求 ， 的值.
17．（本小题满分12分）
是指空气中直径小于或等于 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 的数据如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量 （万辆）
的浓度 （微克/立方米）
（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（3）若周六同一时间段车流量是 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 的浓度为多少（保留整数）？
18．（本小题满分14分）
如图5， 是边长为 的等边三角形， 是等腰直角三角形， ，平面 平面 ，且 平面 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： .
19．（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， （ ）.
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）是否存在整数对 ，使得等式 成立？若存在，请求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知平面上的动点 与点 连线的斜率为 ，线段 的中点与原点连线的斜率为 ， ( )，动点 的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线 的弦 为直径；
②过点 ；③直径 ．求 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ，且对任意 ，都有 .
（1）求 ， 的关系式；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求出 的取值范围并证明 ；
（3）在（2）的条件下，判断 零点的个数，并说明理由．
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