绝密★启用前 试卷类型：A
茂名市2015年第二次高考模拟考试
数学试卷（文科） 2015.4
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.
参考公式：锥体的体积公式是： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高.
第一部分 选择题（共50分）
一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、已知集合 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
2、复数 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3、已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．10 D．55
4、已知向量 ， ，若a∥b，则 等于（ ）
A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1）
5、若 满足不等式 , 则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6、命题“ ” 的否定是( )
A. B.
C. D.
7、已知平面 平面 ， ，点 ，作直线 ，现给出下列四个判断：（1） 与 相交， （2） ， （3） ， （4） . 则可能成立的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8、如图所示,程序框图的输出结果是 ，那么判断框中应
填入的关于 的判断条件是( )
A． B． C． D．
9、已知抛物线 与双曲线 有相
同的焦点 ，点 是两曲线的交点， 为坐标原点，若
，则双曲线的实轴长为( )
A． B． C． D．
10、已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“一阶比增函数”；若 在 上为增函数，则称 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为 .若函数 ，且 ， ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）
（一）必做题（11～13题）
11、函数 的定义域为 .
12、函数 在点（1,1）处的切线方程为 .
13、在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，且 ，则 = .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分.）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为
（ 为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为 .
15、（几何证明选讲选做题）如图， 是圆 的切线，切点为 ，
点 在圆 上， ， ，则圆 的面积
为 .
三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本小题满分12分）
已知函数 的图象过点 .
（1）求 的值；
（2）设
求 的值.
17、（本小题满分12分）
某市为增强市民的环境保护意识,征召义
务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随
机抽取100名按年龄分组：第1组 ，
第2组 ，第3组 ，第4组
，第5组 ，得到的频率分
布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
18、（本小题满分14分）
右图为一简单组合体，其底面 为正
方形， 平面 ， ，且
， 为线段 的中点.
（1）证明： ；
（2）求四棱锥 的体积.
19、（本小题满分14分）
已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，且有 ,点 在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ;
（3）试比较 和 的大小,并加以证明.
20、（本小题满分14分）
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 过点 ，离心率为 ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 过椭圆 的右焦点 ,且交椭圆 于 两点,是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21、（本小题满分14分）
设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若对任意 恒成立，求实数 的最小值；
（3）设 是函数 图象上任意不同的两点，线段 的中点为 ，直线 的斜率为 . 证明： .
茂名市2015年第二次高考模拟考试
数学试卷（文科）参考答案及评分标准
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B A D B D D
提示：9、 抛物线 与双曲线 有相同的焦点 点的坐标
为（1，0） ， ⊥ 轴.设 点在第一象限，则 点坐标为（1,2）设左焦点为 ,则 =2,由勾股定理得 ,由双曲线的定义可知 .
10、因为 且 ，即 在 是增函数，所以 .而 在 不是增函数，而 ，所以当 是增函数时，有 ，所以当 不是增函数时，有 .综上所述，可得 的取值范围是 .
二、填空题（本大题每小题5分，共20分）
11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15.
13.提示：由正弦定理得： 代入 ，得到 即 代入余弦定理得： ， ，又因为 ， .
三、解答题（本大题共80分）
16. 解：（1）把 代入 得到 ………………………1分
， ………………………………………4分
（2）由（1）知
∴ ，……………7分
∵ ， ………9分
∴
………………………………11分
………………………………………………12分
17、解：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为 ……………………1分
第4组的人数为 …………………………………………2分
第5的人数为 ………………………………………………3分
所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组： 第4组：
第5组： 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……5分
（2）记第3组的3名志愿者为 第4组的2名志愿者为 ………………6分
则5名志愿者中抽取的2名志愿者有： ， ， ，
， ， ， ， ， 共10种 ……9分
其中第4组的2名志愿者为 至少有一名志愿者被抽中的有： ，
， ， ， ， ， 共有7种 …11分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 ……………………………12分
18、解：（1）连结 与 交于点 ，则 为 的中
点，连结 ， ∵ 为线段 的中点，
∴ 且 …………………3分
又 且
∴ 且 ∴四边形 为平行四边形， ……………………5分
∴ , 即 ． …………………………………………………………6分
又∵ 平面 , 面 , ∴ ,
∵ , ∴ , …………………………………………………………7分
（2）∵ 平面 ， 平面 ,
∴平面 平面 . …………………………………………………………9分
∵ ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面. . ………………………………………………………………10分
∴ 是四棱锥 的高. ……………………………………………………11分
∵ ……………………………………12分
∴四棱锥 的体积 . ………14分
19. 解：（1）当 时, , 解得： ， ………………………………1分
当 时, ,
则有 ，即： ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. ………………………3分
∴ ……………………………………………………………4分
（2）∵点 在直线 上
∴ . …………………………………………………………………5分
因为 ①,所以 ②.
由①-②得, ,
所以 . ………………8分
（3）令 ,则 = = ……10分
时, ，所以 ; 时, ，所以 ;
时, ，所以 . …………………………………………13分
综上:① 时， ,② 时, ,③ 时, …14分
20、解：（1）由椭圆 过点 ，可得 …………………………1分
又 ， ……………………………………………………………2分
解得： ， ………………………………………………………………3分
所以椭圆 方程为 ……………………………………………………4分
（2）若直线 斜率不存在，则可得 ,于是
; ……………………………6分
若直线的斜率存在,设其方程为:
由 ,可得 ,
设 ,则有 , ……………8分
由于 =
而 ……10分
=
=
=
=
= ……………………………………………………………12分
= = 综上所述，
即：存在实数 ，使得 恒成立 …………………14分
21、解（1） 的定义域为
当 时， ， ………………………1分
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增，
综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ………………3分
（2）由题意知： ，在 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
又 ， 在区间 上恒成立 …………………………4分
设 ， ，则 …5分
又令 ，则 ……6分
当 时， ， 单调递减， ，
即 在 恒成立 ………………………………………………………7分
所以 在 单调递增， ，
故 ，所以实数 的最小值 . …………………………………8分
（3） ， …………………………………………………………9分
又 ，所以 ……………………10分
要证 .
即证 ，不妨设 ，即证 ，
即证 ………………………………………………………………11分
设 ，即证： ，
也就是要证： ，其中 ， ……………………………12分
事实上：设 ，
则 ，……………………………13分
所以 在 上单调递增，因此 ，
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