北京市海淀区2015届高三4月期中练习（一模）
数学理试题
一、选择题
1、设集合 ， 则 （ ）
. . . .
2、抛物线 上的点到其焦点的最短距离为（ ）
. . . .
3、已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则 （ ）
. . . .
4、 是“角 是第一象限的角的（ ）
. 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件
5、圆 （ 为参数）被直线 截得的劣弧长为（ ）
. . . .
6、若 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
. . . .
7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ）
8、某地区在六年内第 年的生产总值 （单位：亿元）与 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产
总值的年平均增长率最高的是（ ）
. 第一年到第三年
. 第二年到第四年
. 第三年到第五年
. 第四年到第六年
二、填空题
9、已知 ，其中 为虚数单位，那么实数
10、执行如图所示的程序框图，输出的 的职位
11、已知 是等差数列，
那么 = 的最大值为
12、在 中，若
则 的大小为
13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，
要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻，
且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是
14、设 ，若存在实数 ，使得函数 有两个零点，则 的取值范围
三、解答题
15、已知函数
（1）求 的最小正周期及其图像的对称轴方程；
（2）求 的单调减区间。
16、某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，
并按 分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立
（1）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，试比较 的大小（只需写出结论）
（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（3）设 表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，
求 的数学期望
17、如图1，在直角梯形 中， 四边形 是正方形，将正
方形 沿 折起到四边形 的位置，使平面 平面 ， 为 的中点，如图2.
（1）求证：
(2) 求 与平面 所成角的正弦值；
（3）判断直线 与 的位置关系
18、已知函数
（1）求函数 的单调区间
（2）若 （其中 ），求 的取值范围，并说明 。
19、已知椭圆 过点 ，且离心率 .
(1)求椭圆 的方程
（2）是否存在菱形 ,同时满足下列三个条件：
点 在直线 上；
点 在椭圆 上；
直线 的斜率等于1.
如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，说明理由。
20、（14分）有限数列 同时满足下列条件
①对于任意的
②对于任意的 三个数中至少有一个数是数列An中的项。
（I）若n＝4，且 ，求a的值；
（II）证明：2，3，5不可能是数列An中的项；
（III）求n的最大值。
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理）答案及评分参考标准 2015.4
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）C （3）D （4）B
（5）A （6）D （7）C （8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9） （10） （11）
（12） 或 （13） （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ………………2分
.
所以 . ………………4分
令 ，得： . ………………6分
所以 的最小正周期为 ，对称轴的方程为 .
（Ⅱ）
. ………………9分
令 ，
得： .
所以 的单调递减区间为 . ………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） ； ………………2分
. ………………4分
（Ⅱ）设事件 ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件 ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件 ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则
， . ………………6分
所以 . ………………8分
（Ⅲ）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3. ………………9分
，
，
，
.
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.343 0.441 0.189 0.027
………………11分
所以 的数学期望 .
………………13分
另解：由题意可知 .
所以 的数学期望 . ………………13分
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形 为正方形，
所以 .
因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………2分
因为 平面 ，
所以 . ………………4分
（Ⅱ）解：如图，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 .
所以 ， ， . ………………6分
设平面 的一个法向量为 .
由 得
令 ，得 ，所以 . ………………8分
设 与平面 所成角为 ，
则 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 . ………………10分
（Ⅲ）解：直线 与直线 平行. 理由如下： ………………11分
由题意得， .
所以 .
所以 . ………………13分
因为 ， 不重合，
所以 . ………………14分
另解：直线 与直线 平行. 理由如下：
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， .
所以 且 .
因为 为 的中点，四边形 是正方形，
所以 且 .
所以 且 .
所以 为平行四边形.
所以 且 .
因为 四边形 为梯形， ，
所以 且 .
所以 四边形 为平行四边形.
所以 且 .
所以 且 .
所以 是平行四边形.
所以 ，即 . ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ） . ………………2分
（ⅰ）当 时， ，则函数 的单调递减区间是 .
………………3分
（ⅱ）当 时，令 ，得 .
当 变化时， , 的变化情况如下表
↘ 极小值 ↗
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当 时，函数 在区间 内是减函数，所以，函数 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分
当 时，因为 在 内是减函数，在 内是增函数，所以 要使 ，必须 ，即 .
所以 . ………………7分
当 时， .
令 ，则 .
当 时， ，所以， 在 上是增函数.
所以 当 时， .
所以 . ………………9分
因为 ， ， ，
所以 在 内存在一个零点，不妨记为 ，在 内存在一个零点，不妨记为 . ………………11分
因为 在 内是减函数，在 内是增函数，
所以 .
综上所述， 的取值范围是 . ………………12分
因为 ， ，
所以 . ………………13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意得： ………………3分
解得：
所以 椭圆 的方程为 . ………………4分
（Ⅱ）不存在满足题意的菱形 ，理由如下： ………………5分
假设存在满足题意的菱形 .
设直线 的方程为 ， ， ，线段 的中点 ，点 . ………………6分
由 得 . ………………8分
由 ，解得 . ………………9分
因为 ，
所以 . ………………11分
因为 四边形 为菱形，
所以 是 的中点.
所以 点的纵坐标 . ………………12分
因为 点 在椭圆 上，
所以 .这与 矛盾. ………………13分
所以 不存在满足题意的菱形 .
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由①，得 .
由②，当 ， ， 时. , , 中至少有一个是数列 ， ， ， 中的项，但 ， ，故 ，解得 .
经检验，当 时，符合题意. ………………3分
（Ⅱ）假设 是数列 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列 中的项，则有限数列 的最后一项 ，且 .
由①， . ………………4分
对于数 ，由②可知： ；对于数 ，由②可知： . ………………6分
所以 ，这与①矛盾.
所以 不可能是数列 中的项. ………………7分
（Ⅲ） 的最大值为 ，证明如下： ………………8分
（1）令 ，则 符合①、②. ………………11分
（2）设 符合①、②，则：
（ⅰ） 中至多有三项，其绝对值大于1.
假设 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设 ， ， ， 是 中绝对值最大的四项，其中 .
则对 ， ， 有 ， ，故 ， 均不是数列 中的项，即 是数列 中的项.
同理： 也是数列 中的项.
但 ， .
所以 .
所以 ，这与①矛盾.
（ⅱ） 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.
假设 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.
（ⅲ） 中至多有两项绝对值等于1.
（ⅳ） 中至多有一项等于0.
综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知 中至多有9项.
………………14分
由（1），（2）可得， 的最大值为9.
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