湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试
数学（理）
长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中
石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中
一．选择题
1．集合 ，则 （ B ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是 （ D ）
A． ，使得 B．
C．函数 有两个零点 D． 是 的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )
A． B． C． D．6
4． （A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ D ）
A． 一定是奇函数 B． 一定是偶函数
C． 一定是奇函数 D． 一定是偶函数
5．已知函数 ，集合 ，现从M中任取两个不同的元素 ，则 的概率为( A )
A． B． C． D．
6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ D ）
A.1008 B.2015
C.1007 D.
7．已知抛物线 ，点 ，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点 ，使得 ，则实数m的取值范围是（ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．设函数 在R上有定义，对于任一给定的正数 ，定义函数 ，则称函数 为 的“ 界函数”若给定函数 ，则下列结论不成立的是（ B ）
A. B.
C. D.
9.已知函数 为自然对数的底数)与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
10．如图，已知双曲线 ： 的右顶点为 为坐标原点，以 为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 ．若 且 ，则双曲线 的离心率为( B )
A． B． C． D．
二．填空题
（一）选做题
11．如图， 是半圆 的直径， 在 的延长线上， 与半圆相切于点 ， ，若 ， ，则 3 .
12．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点 为直线 上一点，点 为曲线 为参数）上一点，则 的最小值为 .
13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)=f(4)都成立，则k的取值范围为 .
（二）必做题
14．设 ，则二项式 的展开式的常数项是____-160_____.
15．如果实数 满足条件： ，则 的最大值是 。
16．平面向量 满足 ， ， ， ，则 的最小值为 .
三．解答题
17．（本题满分12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5,4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.
(I)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(II)记 为取出的3个球中编号的最小值，求 的分布列与数学期望.
解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则 ，………………4分
(II) 的取值为1,2,3,4
…………………8分
所以 的分布列为：
1 2 3 4
的数学期望 ………..12分
18．已知函数 的最大值为2.
(1)求函数 在 上的单调递减区间;
(2)△ABC中, ,角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=60，c=3，求△ABC的面积。
【解析】（1）由题意， 的最大值为 ，所以 ．
而 ，于是 ， ．
为递减函数，则 满足 ，
即 ． 所以 在 上的单调递减区间为 ．
……………….5分
（2）设△ABC的外接圆半径为 ，由题意，得 ．
化简 ，得
． 由正弦定理，
得 ， ． ①…………………….8分
由余弦定理，得 ，即 ． ②……………….10分
将①式代入②，得 ．
解得 ，或 （舍去）． ． ……………….12分
19.（本题满分12分）如图,在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， 为 与 的交点， 为 上任意一点.
(I)证明：平面 平面 ；
(II)若 平面 ，并且二面角 的大小为 ，求 的值.
解:(I) 因为 ， ，
又 是菱形， ，故 平面
平面 平面 …….4分
(II)解：连结 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 平面
又 是 的中点，故此时 为 的中点，
以 为坐标原点，射线 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.
设 则 ，
向量 为平面 的一个法向量……….8分
设平面 的一个法向量 ，
则 且 ，
即 ，
取 ，则 ，则 ………10分
解得
故 ……………………………12分
20 （本题满分13分）
已知数列 中，
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 是数列 的前n项和，求满足 的所有正整数n.
解：（Ⅰ）设 ，
因为
= = ,
所以数列 是以 即 为首项，以 为公比的等比数列. ……… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
…………………….10分
显然当 时， 单调递减，
又当 时， ＞0，当 时， ＜0，所以当 时， ＜0；
，
同理，当且仅当 时， ＞0，
综上，满足 的所有正整数 为1和2．…………………………………… 13分
21.已知离心率为 的椭圆 的右焦点F是圆 的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M,N(与P点不重合)两点
(1)求椭圆方程
(2)求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标
解：（1）圆心坐标（1，0），所以c=1，又 ，∴
故b=1,故椭圆方程为 ……… 4分
(2)设P（ ， ，
∴ ………….. 6分
直线PM的方程
∴
同理
∴m,n是方程 两实根
由韦达定理： ……… 9分
…11分
令 ，
显然由f(x)的单调性知
∴ ，此时
故P点坐标为（ ），即椭圆左顶点 ……………… 13分
22．设函数 ．
(1)若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得x＞0，x≠1．
因f (x)在 上为减函数，故 在 上恒成立．…1分
所以当 时， ．
又 ，………2分
故当 ，即 时， ．
所以 于是 ，故a的最小值为 ． ……………4分
（Ⅱ）命题“若存在 使 成立”等价于
“当 时，有 ”． ………………………5分
由（Ⅰ），当 时， ， ．
问题等价于：“当 时，有 ”． …………………6分
①当 时，由（1）， 在 上为减函数，
则 = ，故 ． …………………8分
②当 < 时，由于 在 上的值域为
（ⅰ） ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数，
于是， ，矛盾．…………………10分
（ⅱ） ，即 ，由 的单调性和值域知，
存在唯一 ，使 ，且满足：
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；
所以， ， ……………………12分
所以， ，与 矛盾．
综上得 ……………………………………………………………13分
点击下载：湖南省十三校2015届高三第二次联考 数学（理）
