大庆市2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题
第I卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）集合 ， ，若 ，则实数 的值为
（A） 或 （B） （C） 或 （D）
（2）若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数），则
（A） （B） （C） （D）
（3）设等比数列 中,前n项和为 ,已知 ,则
（A） （B） （C） （D）
（4）函数 的图象可能是
（A） （B） （C） （D）
（5）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校
学生都排在一起的概率是
（A） （B） （C） （D）
（6）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为 ，则输入的正整
数 的可能取值的集合是
（A） （B）
（C） （D）
（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知两个平面垂直，下列命题中：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数有
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 ，则 的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）无法确定
（10）命题 ，若 是真命题，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（11）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是坐标原点，若 ，则 的面积为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 ，下列是关于函数 的零点个数的4个判断：
① 当 时，有3个零点；
② 当 时，有2个零点；
③ 当 时，有4个零点；
④ 当 时，有1个零点；
则正确的判断是
（A） ①④ （B）②③ （C）①② （D）③④
第II卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）由曲线 所围成图形的面积是____________.
（14）已知向量 夹角为 ，且 ，则 =____________.
（15）若双曲线 的一条渐近线与圆 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.
（16）设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为1，则 的最小值为____________.
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）在 中， 分别是角 的对边. 已知 ， .
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求边 的长.
（18）（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列 ，首项 ，前 项和为 ，且 成等差数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中， 为平行四边形，且
平面 ， ， 为 的中点， ．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
（20）（本小题满分12分）某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .
（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况. 若从今年的高中毕业生中随机抽取两
名，记 表示两人中成绩不合格的人数，求 的分布列及数学期望；
（III）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.
（21）（本小题满分12分）已知 ,其中 .
(Ⅰ)求 的单调递减区间；
(Ⅱ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围.
（22）（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明：直线 与 轴相交于定点 ；
（III）在 (Ⅱ)的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 的取值范围.
数学答案（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A B C C B A C D B D
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三．解答题（本题共6大题，共70分）
17（本小题满分10分）
解：（I）由正弦定理 ，得 ，解得 ，……2分
由于 为三角形内角， ，则 ， ……4分
所以 ， ………5分
（II）依题意， ，即 ，整理得 7分
又 ，所以 . ………10分
另解：
由于 ,所以 ，解得 , ………7分
由于 ，所以 ， ………8分
由 ，所以 .
由勾股定理 ，解得 . ………10分
18．（本小题满分12分）
解：（I）设等比数列 的公比为 ，由题意知 ，且 ，
又因为 、 、 成等差数列，
所以 ， ………2分
即 ，
化简得 ，从而 ，解得 ，
又 ，故 ， …………4分
. …………6分
（II）由（I）知， ，
则 ， ①
， ② …………8分
①-②得：
，
所以 . …………12分
19．（本小题满分12分）
解：
(Ⅰ)证明：连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形，所以点 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 为 的中位线，
所以 ∥ ， ………3分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 . …………6分
(Ⅱ)因为 平面 ， ∥ ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 两两垂直，
故可以建立空间直角坐标系 (如图所示)， ………8分
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 平面 ,故平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
令 ，则 ，可取 ， …………10分
从而 ，
故所求二面角 的余弦值为 . …………12分
20．（本小题满分12分）
解：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为 (人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) .……………4分
(II) =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为 ,∴ ～ .
， ，
.
所求分布列为
X 0 1 2
P
………6分
…………8分
(III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 、 米，则基本事件满足的区域为
，
事件 “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为 ，如图所示.
∴由几何概型 .
则甲比乙投掷远的概率是 . ………12分
21．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ)函数 的定义域为 ，
令 得 ，
①当 时, ,
与 的变化情况如下表
0
0
0
减
增
减
所以 的单调递减区间是 , ； …………2分
②当 时, ， ，
故 的单调递减区间是 ； ………4分
③当 时, ，
与 的变化情况如下表
0
0
0
减
增
减
所以 的单调递增减区间是 , .
综上,当 时, 的单调递增减区间是 , ；
当 时, 的单调递增减区间是 , ；
当 时， 的单调递增减区间是 . …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
① 当 时, 在 的最大值是
但 ,所以 不合题意； …9分
② 当 时, 在 上单调递减，
，可得 在 上的最大值为 ,符合题意.
在 上的最大值为0时, 的取值范围是 . …12分
22.（本小题满分12分）
解：（I）由题意知
而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为 ，
故由题意可知
故椭圆C的方程为 ……3分
（II）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为
由 ……① …… 4分
设点 ，则 ，
直线 的方程为 ，
令 得，
将 代入整理得，
得 ② ……………………5分
由①得 ，
代入②整得，得
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0） ……7分
（III）①当过点 的直线 的斜率不存在时，其方程为 ，
解得 ，此时 ； …8分
② 当过点 的直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ,且 在椭圆 上，
由 得 ，
计算得， ，
所以
则 ……………………10分
因为 ，所以 ，
.
所以 的取值范围是 . ……12分
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