本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（ 非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．
参考公式：
•如果事件A，B互斥，那么 •球的体积公式V球= R3，
P(A∪B)=P(A)+P(B)． 其中R表示球的半径．
•棱柱的体积公式V柱体=Sh，
其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）i是虚数单位，复数 =（ ）．
（A）–i （B）i
（C）– – i （D）– + i
（2）已知实数x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x–2y的最小值是（ ）．
（A）0 （B）–6
（C）–8 （D）–12
（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x(A∩B)， 条件q：x(A∪B)，则p是q的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）充要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长
为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的
表面积为（ ）．
（A）8+4 （B）8+4
（C） （D）8+2 +2
（5）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x– y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双 曲线的方程为（ ）．
（A）4x2–12y2=1 （B）4x2– y2=1
（C）12x2–4y2=1 （D） x2–4y2=1
（6）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（ ）．
（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)
（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)
（7）已知函数f(x)=sinx– cosx（＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数y=f(x)的图象向左平移 个单 位得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为（ ）．
（A）(– ，0) （B）(– ， )
（C）(0， ) （D）( ， )
（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–1|（m＞0），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ）．
（A）0＜m≤1 （B） ≤m＜
（C）1＜m＜ （D） ≤m＜2
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
答 题 纸（文史类）
题 号[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK] 二[来源:Zxxk.Com] 三 总分[来源:学|科|网Z|X|X|K]
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
得 分
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共12小题，共110分．
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 ．
（10）已知公差 不为0的等差数列{an}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则 = ．
（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．
（12）过点(–2，6)作圆x2+(y–2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ．
（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2 ，PO=8．则BD的长为 ．
（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且 = ， = ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则 • = ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）
组号 分组 频数 频率
第1组 [50，55) 5 0.050
第2组 [55，60) ① 0.350
第3组 [60，65) 30 ②
第4组 [65，70) 20 0.200
第5组 [70，75] 10 0.100
合计 100 1.000
某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如右图所示．
（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？
得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）
在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．
（Ⅰ）求cosA及b的值；
（Ⅱ）求cos( –2A)的值．
得 分 评卷人 （17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；
（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
得 分 评卷 人 （18）（本小题满分13分）
设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn．
得 分 评卷人 （19）（本小题满分14分）
已知椭圆C： （a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
得 分 评卷人 （20）（本小题满分14分）
设函数f(x)=(x–1)2+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y–1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数f(x)有两个极值点x1，x2且x1＜x2，求证：f(x2)＞ – ln2．
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
数学试卷（文史类）参考答案 2015.04
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答 案 A C C A D B D B
二、填空题：
（9）60； （10）9； （11）2500；
（12）x–2y +6=0； （13）2 ； （14）0
（16）解：（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理 = = ，
得 = ， …………2分
因为C=2A，所以 = ，即 = ，
解得cosA= ． …………4分
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2–2bccosA，
得b2– b+7=0，解得b=3，或b= ．
因为a，b，c互不相等，所以b= ． …………7分
（Ⅱ）∵cosA= ，∴sinA= ，
∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cosA2–1=– ， …………11分
∴cos( –2A)= cos2A+ sin2A= ． …………13分
（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC= ．
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，
∴AC⊥CP，AC⊥CE，
∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角． ……… …6分
∵PC=AB=2AD=2CD=2，
∴在△PCB中，可得PE=CE= ，
∴cos∠PCE= = ． …………9分
（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．
由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，
∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，
∴PF⊥平面EAC，连接AF，
则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角． …………11分
由（Ⅱ）知CE= ，∴PF= ，
∴sin∠PAF = = ，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 ． …………13分
（18）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为an=3n–1． ………… 2分
∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ………… 4分
∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为bn=2n–1． …………7分
（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， ………… 8分
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①
2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n ……②
①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–( n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． ………… 13分
（19）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc= ab，
∴椭圆C的离心率e= = ． …………3分
（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2 ，∴椭圆方程为 ． …………5分
联立方程组
化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，
由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞
由韦达定理得：xM+xN= …①，xMxN= …② …………7分
设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，
MB方程为：y= x–2，……③
NA方程为：y= x+2，……④ …………9分
由③④解得：y= …………11分
= = =1
即yG=1，
∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． …………14分
（20）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，+∞)， …………1分
f¢(x)=2x–2+ = ， …………2分
∵曲线y=f (x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y–1=0垂直，
∴f¢(1 )=a=2． …………4分
令g(x)=2x2–2x+a，则△=4–8a．
①当△≤0，即a≥ 时，g(x)≥0，从而f¢(x)≥0，
故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； …………6分
②当△＞0，即a＜ 时，g(x)=0的两个根为x1= ，x2= ＞ ，当 ，即a≤0时，x1≤0，当0＜a＜ 时，x1＞0．
故当a≤0时，函数f(x)在(0， )单调递减，在( ，+∞)单调递增；当0＜a＜ 时，函数f(x)在(0， )，( ，+∞)单调递增，在( ， )单调递减． …………9分
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