湖北黄冈2015高三3月份质量检测—数学文
黄冈市教育科学研究院命制 2015年3月12日下午2:00～4:00
一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分.
1.已知R为实数集，集合 ， ，则 （ ）
A.{x|0≤x＜1} B.{x|-2≤x＜1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x＜1}
2.已知 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.(15 ,25 ) B.(- 15 , - 25 ) C.(- 15 ,25 ) D.(15 ,- 25 )
3.命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知变量x，y满足 则-2x+y的最大值为（ ）
A.-1 B.-3 C.-8 D.-9
5.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
6.在黄冈市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91 89 91 96 94 95 94
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A. 93, 2.8 B. 93, 2 C. 94, 2.8 D. 94, 2
7.设函数 ，其图象在点 处的切线 与
直线 垂直，则直线 与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 9 B. 6 C.3 D. 1
8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A.6 B.
C. D.
9.定义在R上的函数 满足 ，且 时， ，则 （ ）
A.1 B. C. D.
10. 定义在实数集R上的函数 的图像是连续不断的，若对任意的实数 ，存在不为0的常数 使得 恒成立，则称 是一个“关于 函数”.下列“关于 函数”的结论正确的是（ ）
A. 是常数函数中唯一一个“关于 函数”
B. 是一个“关于 函数”
C. 不是一个“关于 函数”
D. “关于 函数”至少有一个零点
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由下表可得回归直线方程为 ，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为 ．
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
12.已知 为第四象限角， ，则 =___________.
13.平面向量 ， ， ，若 ，
∥ ，则 在 方向上的投影为 .
14.执行如图所示的程序框图，输出结果S= ．
15.已知圆 与圆 ，在下列说法中：
①对于任意的 ，圆 与圆 始终相切；②对于任意的 ，圆 与圆 始终有四条公切线；
③当 时，圆 被直线 截得的弦长为 ；④ 分别为圆 与圆 上的动点，则 的最大值为4．其中正确命题的序号为______．
16.已知函数 ，则不等式 的解集为 ．
17.设抛物线 的焦点为 ,已知 为抛物线上的两个动点，且满足 ,过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 的最大值为 ．
三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数 的单调递增区间；
(Ⅱ)在△ABC中，若 ,∠B= ，AC=2，求△ABC的面积.
19.(本小题满分12分)
已知数列 是各项均不为0的等差数列，其前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
(Ⅰ)求 ，并证明数列 为等比数列；
(Ⅱ)若 ，求数列 的前n项和 .
20.(本小题满分13分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D点在直线A1B上，AD⊥平面A1BC.
(Ⅰ)求证：BC⊥AB;
(Ⅱ)若BC=2,AB=4,AD= ，P为AC边的中点，求三棱锥P-A1BC的体积 .
21.(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求函数 的极大值和极小值；
(Ⅱ)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)证明： .
22.(本小题满分14分)
已知曲线P： （ ）
(Ⅰ)指出曲线P表示的图形的形状；
(Ⅱ)当 时，过点M（1,0）的直线l 与曲线P交于A,B两点.
①若 ,求直线l的方程；
②求△OAB面积的最大值.
文 科 数 学 参考答案
一、选择题1-5 ADBBC 6-10 ACBCD
二、填空题
11.49 12. 13. - 14.-2015 15.①③④ 16. 17.1
三、解答题
18.解：(Ⅰ)f(x)＝2(32sinx＋12cosx)cosx－12 ＝3sinxcosx＋cos2x－12
＝32sin2x＋12cos2x＝sin(2x＋π6)…………………………5分
令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ得
x∈[－π3＋kπ，π6＋kπ] (k∈Z)
即函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ] (k∈Z)……………6分
(Ⅱ)∵0＜A＜π ∴π6＜2A＋π6＜136π , f(A)＝sin(2A＋π6)＝32
∴2A＋π6＝π3或2A＋π6＝23π，即A＝π12或Ａ＝π4…………………………8分
①当A＝π12时，C＝23π，a＝22sinA＝6－24•22＝3－1 , S△ABC＝12absinC＝3－32 ………10分
②当A＝π4时，C＝π2， S△ABC＝12ab＝2 …………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由an2＝S2n－1
令n＝１得a12＝S1＝a1解a1＝1
令n＝2得a22＝S3＝3a2，得a2＝3
∵{an}为等差数列，∴an＝2n－1 ………………………………3分
证明：∵bn＋1 0， bn＋1＋1bn＋1＝12bn－12＋1bn＋1＝12(bn＋1)bn＋1＝12
又b1＋1＝12，故{bn＋1}是以12为首项公比为12的等比数列.………………6分
(Ⅱ)由(1)知，
=
………………………………………12分
20. (Ⅰ)证明：由AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC得
AD⊥BC ①
又AA1⊥平面ABC AA1⊥BC ②
AA1∩AD＝A ③
由①②③得BC⊥平面A1AB BC⊥AB …………………… 6分
(Ⅱ)Rt△ADB中，sin∠ABD＝234＝32，
故∠ABD＝π3
Rt△AA1B中，AA1＝ABtan∠ABD＝43
故VP—A1BC＝VA1—PBC
＝12VA1—ABC＝12×13×12×2×4×43＝833
即三棱锥P－A1BC的体积为833 . ……………………………………13分
21.(1)∵f＇(x)=3x2+4x=x(3x+4)
f(x)在(－∞,－43)和(0,+∞)上递增，在(－43,0)上递减
∴ f(x)的极大值为f(－43)=3227
f(x)的极小值为f(0)=0. …………………………………………4分
(2) f(x)≥ax+4xlnx恒成立 ,
即x3+2x2－4xlnx≥ax对∀x∈(0,+∞)恒成立.
也即a≤x2+2x－4lnx对x∈(0,+∞)恒成立. 令g(x)= x2+2x－4lnx, 只需a≤g(x)min即可 .
g＇(x)= 2x+2－4x =2(x－1)( x+2)x, x∈(0,+∞)， y= g(x)在(0,1)上递减, (1,+∞)上递增
g(x)min=g(1)=3 , ∴ a≤3 .…………………………………………9分
(3)由(2)知x＞0时，x2+2x－4lnx≥3恒成立.
即(x－1)(x+3)≥4lnx 即(x－1)( x+3)4≥lnx恒成立.
令x=1+1n 得4n+14n2≥ln(1+1n)， 即4n+14n2≥ln(n+1)－lnn
故4(n－1)+14(n－1)2≥lnn－ln(n－1) …
4 2+14 22≥ln3－ln2
4 1+14 12≥ln2－ln1
把以上n个式子相加得
4 1+14 12+4 2+14 22+…+4n+14n2≥ln(n+1).……………………………14分
22. (Ⅰ) 当1＜m＜72时，曲线P表示焦点在y轴上的椭圆
当m＝72时，曲线P表示圆
当72＜m＜6时，曲线P表示焦点在x轴上的椭圆……………………4分
(Ⅱ)当m＝5时，曲线P为x24＋y2＝1，表示椭圆
依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x＝ y＋1，A(x1,y1) B(x2,y2)
由x24＋y2＝1消去x得( 2＋4)y2＋2 y－3＝0
△＞0，由韦达定理得y1＋y2＝－2 2＋4 ①y1y2＝－3 2＋4 ②
由 得，y1＝－2y2代入①②得－y2＝－2 2＋4 －2y22＝－3 2＋4 …………………7分
故8 2( 2＋4)2＝3 2＋4 2＝125 ＝±2155
即直线l的方程为x±2155y－1＝0 . ……………………………………9分
②S△OAB＝S△OMA＋S△OMB＝12|OM|•|y1－y2|＝12|y1－y2|
＝12(y1＋y2)－4y1y2＝16 2＋482( 2＋4)＝2 2＋3 2＋4＝2 2＋3( 2＋3)＋1
令 2＋3＝t (t≥3) S(t)＝2tt2＋1
当t∈[3，＋∞）时，S’ (t)＝2(t2＋1)－2t•2t(t2＋1)2＝2－2t(t2＋1)2＜0
故y＝S(t)在t∈[3，＋∞）时单调递减
当t＝3, 即 ＝0时，S△ABO有最大值为32 .…………………14分
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