河南省六市2015届高三3月第一次联合调研检测
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一．选择题：
1．已知集合 则 ( C)
A． B． C． D．
2．如果复数 (其中 为虚数单位， 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么 等于( C)
A． B． C． D．2
3．在等差数列 中，首项 公差 ，若 ，则 （A ）
A． B． C． D．
4．.函数 的图象大致是（ B）
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 值是 ( D ).
A．3 B．4
C．6 D．8
6. 设 ， ， ，则有（D ）
A． B． C． D．
7. 已知正数x,y满足 ，则 的最小值为( C )
A．1 B． C． D．
8. 将奇函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为( A )
A.6 B.3 C.4 D.2
9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（D）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则 的值为（ A）
A． B. C． D．
11．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1： ，则a的值等于（D）
A． B． C．1 D．4
12. 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．
x －1 0 2 4 5
f(x) 1 2 1.5 2 1
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1，2]；
②函数f(x)在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．
其中正确命题的个数为（D ）
A． 0 B． 1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13. 已知向量 ,其中 , ,且 ,则向量 和 的夹角是_______.
14. 已知三棱锥 的所有棱长都等于1，则三棱锥 的内切球的表面积 .
15. 过椭圆 的中心任作一直线交椭圆于 两点， 是椭圆的一个焦点，则△ 面积的最大值是 .12
16. 已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底数）的图象在点 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 的取值范围是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足 , .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则依题设 ．
由 ,可得 ．
由 ，得 ，可得 ．
所以 ．
可得 ．……………………………6分
（Ⅱ）设 ，则 .
即 ，
可得 ，且 ．
所以 ，可知 ．
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以前 项和 ． …………………………12分
18.（本小题满分12分）
某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
分组 频数 频率
第1组 [60,70) M 0.26
第2组 [70,80) 15 p
第3组 [80,90) 20 0.40
第4组 [90,100] N q
合计 50 1
（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；
（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；
（Ⅲ）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.
【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分
………………4分
（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为 （人）……7分
（Ⅲ）记获一等奖的6人为 ，其中 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ………9分
女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:
， ， ， ，
， ， ， ，
所以恰有1名女生接受采访的概率 . ………12分
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点.
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，
使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.
【解析】
（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意 。在正方形ABCD中， ，所以 ,得 ………5分
（Ⅱ）在棱SC上存在一点E，使
设正方形边长 ，则 由SD⊥平面PAC可得 ，故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行线与 的交点即为 。连BN。在 中知 ，又由于 ,
故平面 ，得 ,由于 ,故 .………12分
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 O 中，已知圆 和圆 .
（I）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
（II）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
【解析】 (1)设直线 的方程为： ，即 ，
由垂径定理，得：圆心 到直线 的距离
由点到直线距离公式，得： 化简得： ，解得 或 。
当 时，直线 的方程为 ；
当 时，直线 的方程为 ，即 .
∴所求直线 的方程为 或 . ………………………………………………6分
(2) 设点P坐标为 ，直线 、 的方程分别为： ，
即： .
∵直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，两圆半径相等，
∴由垂径定理，得：圆心 到直线 与 直线 的距离相等.
∴ ，
化简得： 或 .
∵关于 的方程有无穷多解，∴ 或 。
解之得：点P坐标为 或 .…………………………………12分
21.（本小题满分12分）
已知函数 ， （a为实数）．
(Ⅰ) 当a=5时，求函数 在 处的切线方程；
(Ⅱ) 求 在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；
(Ⅲ) 若存在两不等实根 ， ，使方程 成立，求实数a的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当 时 , .
，故切线的斜率为 .
所以切线方程为: ,即 . ………4分
(Ⅱ) ,
单调递减 极小值(最小值) 单调递增
①当 时,在区间 上 为增函数,
所以
②当 时,在区间 上 为减函数,在区间 上 为增函数,
所以 ………8分
(Ⅲ) 由 ，可得： ，
,
令 , .
单调递减 极小值(最小值) 单调递增
, , .
.
实数 的取值范围为 . ………12分
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知 与⊙ 相切， 为切点，过点 的割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求 的长．
【解析】（Ⅰ）∵ ,
∴ ∽ ,∴ ……………………………………3分
又∵ ,∴ , ∴ ,
∴ ∽ ， ∴ ， ∴
又∵ ，∴ ． ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ,
∴ ，∵ ∴
由（1）可知： ，解得 . …………………………7分
∴ ． ∵ 是⊙ 的切线，∴
∴ ，解得 ． ……………………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求直线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 、B两点，求
【解析】（Ⅰ）消去参数得直线 的直角坐标方程： ---------2分
由 代入得 .
（ 也可以是： 或 ）---------------------5分
（Ⅱ） 得
-----------------------------7分
设 ， ，
则 .---------10分
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设不等式 的解集为 , .
（Ⅰ证明： ；
（Ⅱ）比较 与 的大小.
【解析】（I)记 ，
由 解得： ，
即 ……………………………………………………3分
所以， ; ……………………5分
（II）由（I）得： ， ，
因为
………………9分
故 ，即 ……………………10分
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