2015届高三年级第三次四校联考
数学试题（理）
命题：临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中
（满分150分，考试时间120分）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是
A. B. C. D.
3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
4. 等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A.31 B. 36 C. 42 D.48
5. 设 ，其中实数 满足 ，若 的最大为 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为
A. B. C. D.
7. 执行如图的程序框图，则输出 的值为
A. 2016 B. 2 C. D.
8. 若 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于
A. B. C. D.
9. 已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，得到函数 的图象.关于函数 ，下列说法正确的是
A. 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称
C. 函数 是奇函数 D. 当 时，函数 的值域是
10. 函数 的图象大致为
11. 在正三棱锥 中， 是 的中点，且 ,底面边长 ,则正三棱锥 的外接球的表面积为
A. B. C. D.
12. 过曲线 的左焦点 作曲线 的切线，设切点为M，延长 交曲线 于点N，其中 有一个共同的焦点，若 ，则曲线 的离心率为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知 ，则 ____________.
14. 设随机变量 ～ ，若 ，则 ____________.
15. 函数 ，若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是____________.
16. 设数列 的前 项和为 ，且 ， 为等差数列，则 的通项公式 ____________.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（1）求证： 成等差数列；
（2）若 求 .
18.（本小题满分12分）
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
19. (本小题满分12分)
直三棱柱 中， ， ，
分别是 、 的中点， ， 为棱 上的点.
（1）证明： ;
（2）是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
20. (本小题满分12分)
椭圆 的上顶点为 是 上的一点，以 为直径的圆经过椭圆 的右焦点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直线 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．
21. (本小题满分12分)
函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中 为自然对数的底数）.
（1）若 在 上存在极值，求实数 的取值范围；
（2）求证：当 时， .
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图所示,已知圆 外有一点 ,作圆 的切线 ,
为切点,过 的中点 ,作割线 ,交圆于 、
两点,连接 并延长,交圆 于点 ,连接 交圆
于点 ,若 .
（1）求证:△ ∽△ ;
（2）求证:四边形 是平行四边形.
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆C的参数方程 ．以O为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆C的交点为O、P，与直线 的交点为Q，求线段PQ的长．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设 = .
（1）求 的解集;
（2）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
2015届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1-5： CABAA 6-10：ABCDD 11-12：BD
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：（1）由正弦定理得：
即 ………2分
∴
即 ………4分
∵
∴ 即
∴ 成等差数列。 ………6分
（2）∵ ∴ ………8分
又 ………10分
由（1）得： ∴
∴ 即 ………12分
18.解：（1）设事件 为“两手所取的球不同色”，
则 ………4分
（2）依题意， 的可能取值为0,1,2．
左手所取的两球颜色相同的概率为 ………6分
右手所取的两球颜色相同的概率为 ………7分
………10分
Ｘ 0 1 2
Ｐ
所以Ｘ的分布列为：
………12分
19. （1）证明： ， ∥
又
面 又 面
………2分
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则 , , , ,
设 ， 且 ,即：
………5分
………6分
（2）假设存在,设面 的法向量为 ，
则
即： 令
. ………8分
由题可知面 的法向量 ………9分
平面 与平面 所成锐二面的余弦值为
即：
或 （舍） ………11分
当点 为 中点时，满足要求. ………12分
20.解：（1） ，由题设可知 ，得
① ………1分
又点P在椭圆C上， ②
③ ………3分
①③联立解得， ………4分
故所求椭圆的方程为 ………5分
（2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，代入椭圆方程，消去y，
整理得 （﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又 ，
所以 得 ………8分
假设存在 满足题设，则由
对任意的实数 恒成立,
所以， 解得，
当直线 的斜率不存在时，经检验符合题意.
总上，存在两个定点 ，使它们到直线 的距离之积等于1.
………12分
21.解：（1）∵
由已知 ∴ 得 ………2分
∴
当 为增函数；
当 时， ， 为减函数。
∴ 是函数 的极大值点 ………4分
又 在 上存在极值
∴ 即
故实数 的取值范围是 ………5分
（2）
即为 ………6分
令
则
再令 则
∵ ∴ ∴ 在 上是增函数
∴ ∴
∴ 在 上是增函数
∴ 时， 故 ………9分
令
则
∵ ∴ ∴ 即 上是减函数
∴ 时， ………11分
所以 ， 即 ………12分
22. 证明:(1)∵ 是圆 的切线, 是圆 的割线, 是 的中点,
∴ , ∴ ,
又∵ , ∴△ ∽△ ,
∴ , 即 .
∵ , ∴ , ∴ ,
∴△ ∽△ . ………5分
(2)∵ ,∴ ,即 ,
∴ , ∵△ ∽△ ,∴ ,
∵ 是圆 的切线,∴ ,
∴ ,即 ,
∴ , ∴四边形PMCD是平行四边形. ………10分
23.解：（1）圆C的普通方程为 ，又
所以圆C的极坐标方程为 ………5分
（2）设 ，则由 解得 ………7分
设 ，则由 解得 ………9分
所以 ………10分
24.解： (1)由 得：
或 或 ………3分
解得
所以 的解集为 ………5分
（2）
当且仅当 时，取等号. ………8分
由不等式 对任意实数 恒成立，可得
解得： 或 .
故实数 的取值范围是 ………10分
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